2015-湖北卷文-09 单-双曲线离心率

本题导读

$e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$，实虚半轴同增 $m$ 时 $\frac{b+m}{a+m}$ 向 1 靠近：$a>b$ 时变小、$a<b$ 时变大，对应 $e_1>e_2$ 或 $e_1<e_2$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 将离心率为 $e_1$ 的双曲线 $C_1$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b$（$a\ne b$）同时增加 $m$（$m>0$）个单位长度，得到离心率为 $e_2$ 的双曲线 $C_2$，则 ()

A. 对任意的 $a$，$b$，$e_1>e_2$

B. 当 $a>b$ 时，$e_1>e_2$；当 $a<b$ 时，$e_1<e_2$

C. 对任意的 $a$，$b$，$e_1<e_2$

D. 当 $a>b$ 时，$e_1<e_2$；当 $a<b$ 时，$e_1>e_2$

🔍【思路分析】

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$e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$，实虚半轴同增 $m$ 时 $\frac{b+m}{a+m}$ 向 1 靠近：$a>b$ 时变小、$a<b$ 时变大，对应 $e_1>e_2$ 或 $e_1<e_2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

$e_1=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{a}=\sqrt{1+{\left(\frac{b}{a}\right)}^2}$，$e_2=\sqrt{1+{\left(\frac{b+m}{a+m}\right)}^2}$。

当 $a>b$ 时，$\frac{b}{a}<1$，而 $\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{m(a-b)}{a(a+m)}>0$，即 $\frac{b+m}{a+m}$ 向 $1$ 靠近、变大，故 $e_2>e_1$，$e_1<e_2$。

当 $a<b$ 时同理 $\frac{b+m}{a+m}$ 变小，$e_2<e_1$，$e_1>e_2$。

故选 D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线离心率公式及其单调性分析

核心方法：把 $e$ 表示成 $\frac{b}{a}$ 的增函数，再考察 $\frac{b+m}{a+m}$ 相对 $\frac{b}{a}$ 的增减

避坑指南：“同加一个正数，分数向 1 靠拢”：真分数变大、假分数变小。判断方向后与 $e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$ 的单调性衔接，勿混。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：离心率随参数变化的动态比较题，是圆锥曲线小题的常见构型（湖北卷 2013 理 5 等同型）。

结论推广：结论可推广：$\frac{b+t}{a+t}$ 对 $t>0$ 单调趋于 1；由此可比较任意两条”同心同缩放”双曲线的离心率。

方法推广：见比值参数动态变化，就考察 $\frac{x+t}{y+t}$ 相对 $\frac{x}{y}$ 的增减（作差到 $t$ 倍因式）。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率
• 2015-湖北卷理-8
• 2013年湖北卷理-16