2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率

本题导读

本题考查椭圆与双曲线定义的综合应用。通过共同焦点与公共点构建几何关系，利用余弦定理建立离心率之间的方程，最后通过三角换元或辅助角公式求解最值。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)）已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆和双曲线的公共焦点， $P$ 是它们的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = \frac{π}{3}$ ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为()

A. $\frac{4 3}{3}$ 　　　　　　　B. $\frac{2 3}{3}$ 　　　　　　　C. $3$ 　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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利用曲线定义：设椭圆长半轴为 $a_{1}$ ，双曲线实半轴为 $a_{2}$ ，半焦距均为 $c$ 。设 $∣ P F_{1} ∣ = r_{1}$ ， $∣ P F_{2} ∣ = r_{2}$ 。根据定义有： $r_{1} + r_{2} = 2 a_{1}$ ， $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a_{2}$ 。

利用余弦定理：在 $△ F_{1} P F_{2}$ 中，由余弦定理 $(2 c)^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos \frac{π}{3}$ 。

建立等量关系：将 $r_{1}, r_{2}$ 用 $a_{1}, a_{2}$ 表示，代入余弦定理方程，得到关于 $a_{1}, a_{2}, c$ 的关系式。

求解最值：目标式为 $\frac{1}{e _{1}} + \frac{1}{e _{2}} = \frac{a _{1}}{c} + \frac{a _{2}}{c}$ 。利用辅助角公式或基本不等式求解其最大值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代数化几何关系设椭圆离心率为 $e_{1} = \frac{c}{a _{1}}$ ，双曲线离心率为 $e_{2} = \frac{c}{a _{2}}$ 。目标：求 $S = \frac{a _{1}}{c} + \frac{a _{2}}{c}$ 的最大值。设 $∣ P F_{1} ∣ = r_{1}, ∣ P F_{2} ∣ = r_{2}$ ，则：

椭圆： $r_{1} + r_{2} = 2 a_{1}$

双曲线： $∣ r_{1} - r_{2} ∣ = 2 a_{2}$ 由此可得 $r_{1} = a_{1} + a_{2}, r_{2} = ∣ a_{1} - a_{2} ∣$ （不妨设 $r_{1} > r_{2}$ ）。

第二步：应用余弦定理在 $△ F_{1} P F_{2}$ 中， $∣ F_{1} F_{2} ∣ = 2 c$ ， $∠ P = 6 0^{\circ}$ ： $(2 c)^{2} = r_{1}^{2} + r_{2}^{2} - 2 r_{1} r_{2} cos 6 0^{\circ}$ $4 c^{2} = (a_{1} + a_{2})^{2} + (a_{1} - a_{2})^{2} - (a_{1} + a_{2}) (a_{1} - a_{2})$ $4 c^{2} = 2 a_{1}^{2} + 2 a_{2}^{2} - (a_{1}^{2} - a_{2}^{2}) = a_{1}^{2} + 3 a_{2}^{2}$ 两边同除以 $c^{2}$ ： $(\frac{a _{1}}{c})^{2} + 3 (\frac{a _{2}}{c})^{2} = 4$

第三步：求最大值设 $x = \frac{a _{1}}{c}, y = \frac{a _{2}}{c}$ ，则已知 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ，求 $x + y$ 的最大值。利用柯西不等式： $(x + y)^{2} = (1 \cdot x + \frac{1}{3} \cdot 3 y)^{2} \leq (1^{2} + (\frac{1}{3})^{2}) (x^{2} + 3 y^{2})$ $(x + y)^{2} \leq (1 + \frac{1}{3}) \cdot 4 = \frac{4}{3} \cdot 4 = \frac{16}{3}$ 所以 $x + y \leq \frac{16}{3} = \frac{4}{3} = \frac{4 3}{3}$ 。

当且仅当 $\frac{x}{1} = \frac{3 y}{1/ 3}$ 即 $x = 3 y$ 时取等号。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆与双曲线定义、余弦定理与柯西不等式求最值

核心方法：由定义设 $r_{1} = a_{1} + a_{2}, r_{2} = ∣ a_{1} - a_{2} ∣$ ，余弦定理得 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ ，柯西不等式求 $x + y$ 最值

避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源: 公共焦点公共点与圆锥曲线定义

结论推广: 椭圆与双曲线共焦点时离心率倒数满足 $x^{2} + 3 y^{2} = 4$ 。

方法推广: 可迁移到椭圆双曲线综合定义与最值类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

10.01 两角和与差及辅助角公式

18.01 椭圆专题全总结

18.02 双曲线专题全总结

类题演练 (Links)

2026-上海卷-12 填-椭圆离心率

2023-新高考I卷-05 单-椭圆离心率

2015-福建卷文-11 单-椭圆离心率

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2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率

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