2015-湖北卷文-12 填-线性规划

本题导读

画可行域求三顶点，逐点代入 $z=3x+y$，最大值在 $x+y=4$ 与 $x-y=2$ 的交点 $(3,1)$ 处取得，$z=10$。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 若变量 $x$，$y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+y\le 4,\\ x-y\le 2,\\ 3x-y\ge 0,\end{array}$ 则 $3x+y$ 的最大值是 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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画可行域求三顶点，逐点代入 $z=3x+y$，最大值在 $x+y=4$ 与 $x-y=2$ 的交点 $(3,1)$ 处取得，$z=10$。

✅【答案】

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$10$

✍【详细解析】

Abstract

作出可行域：直线 $x+y=4$ 与 $x-y=2$ 交于 $(3,1)$；$x+y=4$ 与 $3x-y=0$ 交于 $(1,3)$；$x-y=2$ 与 $3x-y=0$ 交于 $(-1,-3)$。可行域是以 $(3,1)$、$(1,3)$、$(-1,-3)$ 为顶点的三角形区域。

设 $z=3x+y$，逐点代入：$z(3,1)=10$，$z(1,3)=6$，$z(-1,-3)=-6$。

故最大值为 $10$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：简单的线性规划问题（最优解在顶点处取得）

核心方法：可行域顶点代入目标函数比较

避坑指南：第三个约束是 $3x-y\ge 0$（$y\le 3x$），方向别画反；顶点 $(-1,-3)$ 虽然要舍入比较，但不要漏算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：线性规划求最值是应用型填空的传统题型，本题约束三条、顶点三个，属基础量级。

结论推广：目标函数 $z=3x+y$ 的等值线法向 $(3,1)$，最大值必在可行域沿 $(3,1)$ 方向最远的顶点（或边）上取得。

方法推广：线性规划：先画域、再找顶点、最后代值比较，三步不乱。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2010-湖北卷理-12
• 2015-湖北卷理-7
• 2014-湖北卷理-17 解-辅助角公式