2015-湖北卷文-13 填-函数零点

本题导读

化简得 $f(x)=\sin 2x-x^2$，$|x|>1$ 时 $x^2>1\ge \sin 2x$ 无零点；在 $(0,1)$ 内 $\sin 2x=x^2$ 有一根，$x=0$ 一根，$(-1,0)$ 由对称性一根，共 2 个。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)） 函数 $f(x)=2\sin x\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)-x^2$ 的零点个数为 $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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化简得 $f(x)=\sin 2x-x^2$，$|x|>1$ 时 $x^2>1\ge \sin 2x$ 无零点；在 $(0,1)$ 内 $\sin 2x=x^2$ 有一根，$x=0$ 一根，$(-1,0)$ 由对称性一根，共 2 个。

✅【答案】

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$2$

✍【详细解析】

Abstract

由 $\sin \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\cos x$，得 $f(x)=2\sin x\cos x-x^2=\sin 2x-x^2$。

① $x=0$ 时 $f(0)=0$，是一个零点。

② $x>0$：$|\sin 2x|\le 1$，故 $f(x)=0$ 需 $x^2\le 1$，即 $0<x\le 1$。设 $g(x)=\sin 2x-x^2$，$g(0.5)=\sin 1-0.25\approx 0.84-0.25>0$，$g(1)=\sin 2-1\approx -0.09<0$，故 $(0,1)$ 内恰有一个零点。

③ $x<0$：令 $u=-x>0$，$f(x)=0⟺\sin 2u=u^2$，由②恰有一解 $u$，对应唯一的 $x=-u$。

综上零点个数为 $1+1+1=2$ 个。（注意 $f$ 非奇非偶，$x<0$ 的零点由代换论证而非”对称”直取。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：函数零点个数的判定；二倍角公式（$\sin 2x=2\sin x\cos x$）

核心方法：化简解析式 + 有界性缩范围 + 零点存在定理定位

避坑指南：由有界性得 $|x|\le 1$ 是缩范围的关键；$f$ 不是奇函数（$\sin 2x$ 奇、$x^2$ 偶），负半轴零点要用代换说明，不能想当然”对称成对”。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：含三角与二次式的零点个数题，是”函数与方程”板块的常规压轴填空（doc 考点定位：函数与方程、函数图像）。

结论推广：一般地，$h(x)=\sin kx-x^2$ 型零点个数：$h(0)=0$ 恒有一个，正负半轴各由 $\sin kx$ 与 $x^2$ 在 $[0,\frac{1}{k}]$ 附近的相对大小判定。

方法推广：零点个数 = 交点个数：先化简、再有界缩范围、最后零点存在定理逐一锁定。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.16 零点问题
• 10.02 倍角、降幂与升幂公式

类题演练(Links)

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