2015-湖北卷文-20 解-阳马鳖臑

本题导读

建系后 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ 证 $DE\perp$ 平面 $PBC$；四个面逐一找直角确认鳖臑；$V_1=\frac{b{c}^2}{3}$、$V_2=\frac{b{c}^2}{12}$，比值 4。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(文)）

《九章算术》中，将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为”阳马”，将四个面都为直角三角形的四面体称之为”鳖臑”.

如图，在阳马 $P-ABCD$ 中，侧棱 $PD\perp$ 底面 $ABCD$，且 $PD=CD$，点 $E$ 是 $PC$ 的中点，连接 $DE$，$BD$，$BE$.

(1) 证明：$DE\perp$ 平面 $PBC$.试判断四面体 $EBCD$ 是否为鳖臑，若是，写出其每个面的直角（只需写出结论）；若不是，请说明理由；

(2) 记阳马 $P-ABCD$ 的体积为 $V_1$，四面体 $EBCD$ 的体积为 $V_2$，求 $\frac{V_1}{V_2}$ 的值.

🔍【思路分析】

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建系后 $\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BC}=\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{PB}=0$ 证 $DE\perp$ 平面 $PBC$；四个面逐一找直角确认鳖臑；$V_1=\frac{b{c}^2}{3}$、$V_2=\frac{b{c}^2}{12}$，比值 4。

✅【答案】

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(1) 见解析；四面体 $EBCD$ 是鳖臑，四个直角为 $\angle BCD$、$\angle BCE$、$\angle DEC$、$\angle DEB$

(2) $\frac{V_1}{V_2}=4$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 设 $AD=b$，$CD=c$，建立空间直角坐标系：$D(0,0,0)$，$C(c,0,0)$，$A(0,b,0)$，$B(c,b,0)$，$P(0,0,c)$。由 $E$ 为 $PC$ 中点，$E\left(\frac{c}{2},0,\frac{c}{2}\right)$。

于是 $\overrightarrow{DE}=\left(\frac{c}{2},0,\frac{c}{2}\right)$，$\overrightarrow{BC}=(0,-b,0)$，$\overrightarrow{PB}=(c,b,-c)$。

$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{BC}=0$，$\overrightarrow{DE}\cdot \overrightarrow{PB}=\frac{c^2}{2}-\frac{c^2}{2}=0$，故 $DE\perp BC$，$DE\perp PB$。又 $BC$ 与 $PB$ 是平面 $PBC$ 内相交直线，所以 $DE\perp$ 平面 $PBC$。

由 $BC\perp CD$ 且 $BC\perp PD$，得 $BC\perp$ 平面 $PCD$，故 $BC\perp CE$，即 $\angle BCE=90^{\circ }$；又 $\angle BCD=90^{\circ }$。由 $DE\perp$ 平面 $PBC$ 得 $DE\perp EC$、$DE\perp EB$，即 $\angle DEC=90^{\circ }$、$\angle DEB=90^{\circ }$。

因此四面体 $EBCD$ 的四个面都是直角三角形，是鳖臑，四个直角为 $\angle BCD$，$\angle BCE$，$\angle DEC$，$\angle DEB$。

(2) 设长方形 $ABCD$ 的面积 $S=bc$，则 $V_1=\frac{1}{3}S\cdot PD=\frac{1}{3}b{c}^2$。

以 $△BCD$ 为底（面积 $\frac{1}{2}bc$），$E$ 到平面 $BCD$ 的距离为 $\frac{1}{2}PD=\frac{c}{2}$，故 $V_2=\frac{1}{3}\times \frac{bc}{2}\times \frac{c}{2}=\frac{b{c}^2}{12}$。

所以 $\frac{V_1}{V_2}=\frac{b{c}^2/3}{b{c}^2/12}=4$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：直线与平面垂直的判定与性质；锥体体积公式

核心方法：空间向量坐标法证垂直；“同底换高”求四面体体积

避坑指南：①”鳖臑”四个面都要验直角，四角齐全才完整；②$V_2$ 的底面取 $△BCD$、高取 $\frac{c}{2}$（$E$ 是 $PC$ 中点），别用错高。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以《九章算术》“阳马、鳖臑”新定义为背景的立体几何大题，是 2015 湖北卷数学文化命题的又一代表（与第 2 题呼应）。

结论推广：一般地，$E$ 为侧棱 $PC$ 中点时，以 $BCD$ 为底 $E$ 的高是 $P$ 的一半，故 $V_{EBCD}=\frac{1}{2}{V}_{P\text{-}BCD}$；而 $V_{P\text{-}BCD}=\frac{1}{2}{V}_{\text{阳马}}$（同高、底为一半），故 $\frac{V_{\text{阳马}}}{V_{EBCD}}=4$，与 $b$，$c$ 的具体取值无关。

方法推广：立体几何新定义题：把定义翻译成”找直角/找垂直”的常规操作；体积比常用”换底换高”或中点倍分关系。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 13.04 立体几何高阶：定理、模型与性质

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2005-湖北卷理-20 解-空间直角坐标系的建立

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式

• 2012-湖北卷理-19