2021-新高考I卷-12 多-立体几何体积

本题导读

本题考查正三棱柱的几何性质，以及空间向量表示动点轨迹。

📌【题干】

Question

（2021年新高考I卷）在正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 中，$AB=A{A}_1=1$，点 $P$ 满足 $\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_1}$，其中 $\lambda \in [0,1],\mu \in [0,1]$，则（ ）

A. 当 $\lambda =1$ 时，$△A{B}_{1}P$ 的周长为定值

B. 当 $\mu =1$ 时，三棱锥 $P-A_{1}BC$ 的体积为定值

C. 当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1}P\perp BP$

D. 当 $\mu =\frac{1}{2}$ 时，有且仅有一个点 $P$，使得 $A_{1}B\perp$ 平面 $A{B}_{1}P$

🔍【思路分析】

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1. 判定 A 选项（周长是否为定值）：

当 $\lambda =1$ 时，$\overrightarrow{BP}=\overrightarrow{BC}+\mu \overrightarrow{B{B}_1}$，即 $\overrightarrow{CP}=\mu \overrightarrow{C{C}_1}$．

说明点 $P$ 在线段 $C{C}_1$ 上移动．

$△A{B}_{1}P$ 的周长 $L=A{B}_1+B_{1}P+AP$．

• 当 $P$ 在 $C$ 点时，$AP=AC=1$，$B_{1}P=B_{1}C=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$．

• 当 $P$ 在 $C_1$ 点时，$AP=A{C}_1=\sqrt{2}$，$B_{1}P=B_1{C}_1=1$．

• 当 $P$ 为 $C{C}_1$ 中点时，$AP=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$B_{1}P=\sqrt{1^2+(\frac{1}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{5}}{2}$．

  显然 $1+\sqrt{2}\ne \sqrt{5}$，周长发生变化，故 A 错误．

2. 判定 B 选项（体积是否为定值）：

当 $\mu =1$ 时，$\overrightarrow{BP}=\lambda \overrightarrow{BC}+\overrightarrow{B{B}_1}$，即 $\overrightarrow{B_{1}P}=\lambda \overrightarrow{B_1{C}_1}$．

说明点 $P$ 在线段 $B_1{C}_1$ 上移动．

考察三棱锥 $P-A_{1}BC$，由于 $B_1{C}_1\parallel BC$，且 $BC\subset$ 平面 $A_{1}BC$，

故 $B_1{C}_1\parallel$ 平面 $A_{1}BC$．

因此，直线 $B_1{C}_1$ 上的动点 $P$ 到平面 $A_{1}BC$ 的距离 $h$ 为定值．

又因为底面 $△A_{1}BC$ 的面积固定，由 $V=\frac{1}{3}Sh$ 可知，体积为定值，故 B 正确．

3. 判定 C 选项（垂直关系点数）：

当 $\lambda =\frac{1}{2}$ 时，点 $P$ 在侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 的垂直中位线 $M{M}_1$ 上移动（$M,M_1$ 为 $BC,B_1{C}_1$ 中点）．

• 当 $P=M$ 时，在正 $△ABC$ 中，$AM\perp BC$，结合直棱柱性质易证 $A_{1}M\perp BC$，而在平面 $BC{C}_1{B}_1$ 内 $BM\perp M{M}_1$，此点未必符合 $A_{1}P\perp BP$．

• 实际上，取 $P=M$ 时，$BP=\frac{1}{2}$，$A_{1}P=A_{1}M=\sqrt{1^2+(\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2}=\frac{\sqrt{7}}{2}$，$A_{1}B=\sqrt{2}$．此时不满足勾股定理．

• 若使用坐标法，设 $B(0,0,0),C(1,0,0),B_1(0,1,0),A(\frac{1}{2},0,\frac{\sqrt{3}}{2})$．

  经计算可发现存在两个位置满足 $A_{1}P\perp BP$，故 C 错误．

4. 判定 D 选项（线面垂直唯一性）：

当 $\mu =\frac{1}{2}$ 时，$P$ 在侧面水平中位线上．

要使 $A_{1}B\perp$ 平面 $A{B}_{1}P$，则需 $A_{1}B$ 垂直于面内两条相交直线（如 $A_{1}B\perp A{B}_1$ 和 $A_{1}B\perp AP$）．

• 在正方形 $AB{B}_1{A}_1$ 中，对角线 $A_{1}B\perp A{B}_1$ 恒成立．

• 设 $C{C}_1$ 中点为 $D_1$，当 $P=D_1$ 时，可以证明 $A_{1}B\perp A{D}_1$（利用线面垂直的性质证明 $A{D}_1\perp$ 平面 $A_{1}BE$）．

• 根据几何唯一性，过定点 $A$ 且与定直线 $A_{1}B$ 垂直的平面是唯一的，该平面与侧面水平中位线的交点也是唯一的．

  故有且仅有一个点 $P$，D 正确．

结论：正确选项为 BD．

✅【答案】

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BD

✍【详细解析】

Abstract

$BD$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 向量轨迹的翻译：$\overrightarrow{BP}=\lambda \vec{u}+\mu \vec{v}$ 是确定空间动点落在某个平行四边形区域的标准表示法。
2. 体积定值的常用判据：在动点体积问题中，“底不变，高为定值”是最常用的突破口。高为定值通常由“线面平行”或“面面平行”推导得出。
3. 垂直关系的判定：

• 异面直线垂直（C）：常用坐标法转化为数量积为 0 的方程求根。
• 线面垂直（D）：利用垂直平面的唯一性来判定点的唯一性。

4. 避坑指南：多选题中“有且仅有一个”往往是命题陷阱，一定要通过精确计算（如 C 选项）排除可能存在的多个解。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展：对于 D 选项，可以使用“投影法”。$A_{1}B\perp$ 平面 $A{B}_{1}P⟹A_{1}B$ 在侧面 $BC{C}_1{B}_1$ 上的投影垂直于 $B_{1}P$。由于 $A_1$ 在侧面上的投影是 $B_1$，故投影直线即 $B_{1}B$。但在侧面内 $B_{1}B\perp B_{1}P$ 并不总是成立。实际上，D 选项需综合考虑 $A_{1}B\perp AP$ 这一投影关系。
• 变式思考：如果将正三棱柱改为长方体，B 选项的结论还会成立吗？ (提示：只要保证 $P$ 移动的直线与底面 $A_{1}BC$ 平行，结论依然成立。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-福建卷理-19 解-线面垂直
• 2013-辽宁卷理-18 解-直线与平面垂直判定
• 2015-湖北卷文-20 解-阳马鳖臑