2015-湖北卷理-05 单-充分必要条件

本题导读

本题考查充分必要条件的判定。结合等比数列的定义与柯西不等式等号成立的条件，通过双向逻辑推导分析命题 $p$ 与命题 $q$ 之间的包含关系。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 设 $a_1,a_2,\cdots ,a_n\in \mathbf{R}$，$n\ge 3$.若 $p$：$a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 成等比数列； $q$：$(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2)(a_2^2+a_3^2+\cdots +a_n^2)=(a_1{a}_2+a_2{a}_3+\cdots +a_{n-1}{a}_n{)}^2$，则 ()

A. $p$ 是 $q$ 的充分条件，但不是 $q$ 的必要条件

B. $p$ 是 $q$ 的必要条件，但不是 $q$ 的充分条件

C. $p$ 是 $q$ 的充分必要条件

D. $p$ 既不是 $q$ 的充分条件，也不是 $q$ 的必要条件

🔍【思路分析】

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1. 分析 $p⟹q$（充分性）：
   • 若 $\{a_n\}$ 成等比数列，设公比为 $k$。根据等比数列定义，$a_2=a_{1}k,a_3=a_{2}k,\dots ,a_n=a_{n-1}k$。
   • 代入 $q$ 式左边进行提取公因式，观察是否能推导出右边。注意等比数列隐含首项和公比均不为 $0$。
2. 分析 $q⟹p$（必要性）：
   • 观察 $q$ 的形式，这是一个典型的柯西不等式等号成立的情形。
   • 柯西不等式：$(\sum a_i^2)(\sum b_i^2)\ge (\sum a_i{b}_i{)}^2$。
   • 等号成立的充要条件是：两组序列成比例，即 $\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}=\cdots =\frac{a_{n-1}}{a_n}$ 或其中一组序列全为 $0$。
   • 考虑特殊情况，如序列中含有 $0$ 时，命题 $q$ 仍然可以成立，但 $\{a_n\}$ 可能不成等比数列。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：验证充分性 ($p⟹q$) 若 $a_1,a_2,\cdots ,a_n$ 成等比数列，设公比为 $r$，则 $a_i\ne 0$ 且 $a_{i+1}=a_{i}r$。 $q$ 式左边 $=(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2)(a_1^2{r}^2+a_2^2{r}^2+\cdots +a_{n-1}^2{r}^2)$ $=r^2(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2{)}^2$。 $q$ 式右边 $=(a_1\cdot a_{1}r+a_2\cdot a_{2}r+\cdots +a_{n-1}\cdot a_{n-1}r{)}^2$ $=[r(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2){]}^2=r^2(a_1^2+a_2^2+\cdots +a_{n-1}^2{)}^2$。 左边 $=$ 右边，故充分性成立。

第二步：验证必要性 ($q⟹p$) 根据柯西不等式等号成立的条件，若 $q$ 成立，则存在常数 $k$ 使得 $a_{i+1}=k{a}_i$ ($i=1,2,\dots ,n-1$) 或者 $a_1=a_2=\cdots =a_{n-1}=0$。

1. 若存在项为 $0$，例如 $a_1=a_2=\cdots =a_n=0$，此时 $q$ 式易知成立（$0=0$）。但由于等比数列的定义要求公比 $r\ne 0$ 且各项均不为 $0$，故全零数列不成等比数列。
2. 若 $a_1=1,a_2=0,a_3=0,\cdots ,a_n=0$，代入 $q$ 式： 左边 $=(1^2+0^2+\cdots )(0^2+0^2+\cdots )=0$；右边 $=(1\cdot 0+0\cdot 0+\cdots {)}^2=0$。 等式成立，但数列 $1,0,0,\dots$ 不成等比数列。 因此，由 $q$ 推不出 $p$，必要性不成立。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：充分必要条件的逻辑判断、等比数列定义、柯西不等式。
• 避坑指南：零项问题是数列命题中的头号杀手。等比数列定义中明确规定各项均不能为 $0$。而代数等式（如命题 $q$）通常可以容纳 $0$ 的存在，这就造成了逻辑范围的差异。
• 判定技巧：在判断必要性时，寻找“反例”是最高效的方法。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若增加条件“各项均为正数”，则 $p$ 与 $q$ 互为充要条件。
• 方法推广:
  • 向量视角：命题 $q$ 的本质是向量 $\vec{u}=(a_1,a_2,\dots ,a_{n-1})$ 与 $\vec{v}=(a_2,a_3,\dots ,a_n)$ 共线（数量积的平方等于模长的平方积）。
• 相关知识点: 向量平行（共线）的充要条件、二阶行列式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-18 解-通项公式与求和公式
• 2013年湖北卷理-18
• 2008-湖北卷理-21