2014-湖北卷理-18 解-通项公式与求和公式

本题导读

本题考查等差数列的基本量计算。第一问利用等比中项建立方程求公差，从而确定通项公式；第二问通过求和公式建立一元二次不等式，通过分类讨论寻找满足条件的最小正整数。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 已知等差数列 $\{a_n\}$ 满足：$a_1=2$，且 $a_1,a_2,a_5$ 成等比数列.

(1) 求数列 $\{a_n\}$ 的通项公式.

(2) 记 $S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，是否存在正整数 $n$，使得 $S_n>60n+800$？若存在，求 $n$ 的最小值；若不存在，说明理由.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：设公差为 $d$。由等比中项性质 $a_2^2=a_1{a}_5$ 建立关于 $d$ 的方程，求出 $d$ 后写出通项。注意 $d$ 可能有多个值。
2. 第二问：针对第一问求出的通项，分别表示出 $S_n$。
   • 若 $d=0$，观察 $S_n$ 是否可能大于 $60n+800$。
   • 若 $d\ne 0$，将 $S_n$ 代入不等式，化简为关于 $n$ 的一元二次不等式，求解并取最小正整数。

✅【答案】

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$a_n=2$ 或 $a_n=4n-2$；(2)存在性判断与最小值求解；情况①：当 $a_n=2$ 时；情况②：当 $a_n=4n-2$ 时

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求通项公式 设等差数列 $\{a_n\}$ 的公差为 $d$。 因为 $a_1=2$，所以 $a_2=2+d$，$a_5=2+4d$。 由 $a_1,a_2,a_5$ 成等比数列，得： $a_2^2=a_1{a}_5$ $(2+d{)}^2=2(2+4d)$ 展开整理得： $4+4d+d^2=4+8d$ $d^2-4d=0$ 解得 $d=0$ 或 $d=4$。

• 当 $d=0$ 时，$a_n=a_1=2$。
• 当 $d=4$ 时，$a_n=2+(n-1)\times 4=4n-2$。 所以数列 $\{a_n\}$ 的通项公式为 $a_n=2$ 或 $a_n=4n-2$。

(2) 存在性判断与最小值求解 需分情况讨论： 情况①：当 $a_n=2$ 时 前 $n$ 项和 $S_n=2n$。 若 $2n>60n+800$，整理得 $-58n>800$。 由于 $n$ 为正整数，此不等式无解。故此时不存在满足条件的 $n$。

情况②：当 $a_n=4n-2$ 时 前 $n$ 项和 $S_n=\frac{n(a_1+a_n)}{2}=\frac{n(2+4n-2)}{2}=2n^2$。 由 $S_n>60n+800$ 得： $2n^2>60n+800$ $n^2-30n-400>0$ 解方程 $n^2-30n-400=0$： $(n-40)(n+10)=0$ 得 $n=40$ 或 $n=-10$。 因为 $n>0$，所以不等式的解为 $n>40$。 由于 $n$ 是正整数，满足条件的 $n$ 的最小值为 41。

综上所述，存在满足条件的 $n$，最小值为 41。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等差数列通项、等比中项与前 $n$ 项和

2. 核心方法：由 $a_2^2=a_1{a}_5$ 求公差，分类讨论代入 $S_n>60n+800$ 求最小正整数

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 等差数列基本量与等比中项

2. 结论推广: 由等比中项可能得 $d=0$ 或 $d=4$，需分类讨论。

3. 方法推广: 可迁移到等差数列通项、求和与存在性不等式类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 19.01 等差数列全总结
• 19.02 等比数列全总结

类题演练 (Links)

• 2013-天津卷理-19 解-通项公式与求和公式
• 2013-重庆卷理-12 填-等差数列通项与求和公式
• 2013-四川卷理-16 解-等差数列通项与前n项和公式