2015-湖北卷理-06 单-符号函数

本题导读

本题考查符号函数的定义与复合函数的性质。重点在于理解单调增函数在自变量缩放后的数值变化，通过分析 $g(x)$ 的正负性与 $x$ 的关系来确定符号函数的值。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 已知符号函数 $\mathrm{sgn}x=\{\begin{array}{ll}1,& x>0\\ 0,& x=0\\ -1,& x<0\end{array}$，$f(x)$ 是 $\mathbf{R}$ 上的增函数，$g(x)=f(x)-f(ax)$ ($a>1$)，则 ()

A. $\mathrm{sgn}[g(x)]=\mathrm{sgn}x$　　　　　　　　B. $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}x$

C. $\mathrm{sgn}[g(x)]=\mathrm{sgn}[f(x)]$　　　　　　D. $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}[f(x)]$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 分析 $g(x)$ 的正负性：$g(x)=f(x)-f(ax)$。由于 $f(x)$ 是增函数，其正负取决于自变量 $x$ 与 $ax$ 的大小比较。
2. 分区间讨论：
   • 当 $x>0$ 时，因为 $a>1$，所以 $ax>x$。根据增函数性质得 $f(ax)>f(x)$。
   • 当 $x=0$ 时，$ax=0$，所以 $g(0)=f(0)-f(0)=0$。
   • 当 $x<0$ 时，因为 $a>1$，所以 $ax<x$（负数乘大于1的数更小）。根据增函数性质得 $f(ax)<f(x)$。
3. 利用特例法（构造函数）：构造一个简单的增函数如 $f(x)=x$，代入验证选项，这是选择题最快速的解法。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解法一：单调性定义法 由已知条件 $a>1$：

1. 当 $x>0$ 时，$ax>x$。 由于 $f(x)$ 是增函数，所以 $f(ax)>f(x)$， 则 $g(x)=f(x)-f(ax)<0$。 此时 $\mathrm{sgn}[g(x)]=-1$。 而 $\mathrm{sgn}x=1$，故有 $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}x$。
2. 当 $x=0$ 时，$ax=0$， 则 $g(0)=f(0)-f(0)=0$。 此时 $\mathrm{sgn}[g(0)]=0$，$\mathrm{sgn}0=0$， 满足 $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}x$。
3. 当 $x<0$ 时，$ax<x$（例如 $-2\times 2<-2$）， 由于 $f(x)$ 是增函数，所以 $f(ax)<f(x)$， 则 $g(x)=f(x)-f(ax)>0$。 此时 $\mathrm{sgn}[g(x)]=1$。 而 $\mathrm{sgn}x=-1$，故有 $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}x$。

综上所述，对于任意 $x\in \mathbf{R}$，均有 $\mathrm{sgn}[g(x)]=-\mathrm{sgn}x$。

解法二：特例法（快速提分技巧） 令 $f(x)=x$（易知是增函数），$a=2$。 则 $g(x)=x-2x=-x$。 所以 $\mathrm{sgn}[g(x)]=\mathrm{sgn}(-x)=-\mathrm{sgn}x$。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：符号函数的定义域分段处理；增函数性质 $x_1<x_2⟺f(x_1)<f(x_2)$ 的灵活应用。
• 关键陷阱：在 $x<0$ 的情况下，乘一个大于 1 的系数 $a$ 会导致自变量变小（绝对值变大，数值更小），这点容易直觉性出错。
• 核心方法：构造函数法（特例法）是解决抽象函数选择题的“必杀技”。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 若 $f(x)$ 为减函数且 $a>1$，则 $\mathrm{sgn}[g(x)]=\mathrm{sgn}x$。
• 方法推广: 在处理涉及 $\mathrm{sgn}x$ 的复合函数时，核心步骤是判定内层函数（如 $g(x)$）在不同区间下的正负号。
• 相关知识点: 函数的奇偶性、复合函数的单调性。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 20.06 导数构造函数逆向还原专题

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-06 单-定积分运算
• 2013年湖北卷理-22
• 2014-湖北卷理-22 解-导数单调性