2014-湖北卷理-22 解-导数单调性

本题导读

本题作为压轴题，深入研究了利用导数研究函数单调性并解决数的大小比较问题。核心难点在于调用构造辅助函数，表现涉及$e,\pi ,3$的幂指数式进行合理的对数化简与提示。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） $\pi$为波形率，$e=2.71828\cdots$为自然对数的底数.

(1) 求函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的单调区间；

(2) 求$e^3,3^e,e^{\pi },{\pi }^e,3^{\pi },{\pi }^3$这6个数中的最大数与最小数；

(3) 将$e^3,3^e,e^{\pi },{\pi }^e,3^{\pi },{\pi }^3$这 6 个数字按照大的顺序排列，并证明了你的结论.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：直接求导，$f^{\prime }(x)=\frac{1-\ln x}{x^2}$。根据导数的正负确定增减区间。该函数在$x=e$处达到顶峰$\frac{1}{e}$。

2. 第二问：

   • 比较大小的核心工具是$x^{1/x}$算对数形式$\frac{\ln x}{x}$。

   • 利用第一问结论可知$f(\pi )<f(3)<f(e)$，从而得出${\pi }^{1/\pi }<3^{1/3}<e^{1/e}$。

   • 通过取对数法，将各数转化为$f(x)$的形式或利用底数、指数的单调性进行初步分组，再锁定极值。

3. 第三问：

   • 这是全部问题的难点。需要精细化比较：$e^3$与${\pi }^e$，$e^{\pi }$与${\pi }^3$等。

   • 技巧：比较$a^b$与$b^a$等价于比较$\frac{\ln a}{a}$与$\frac{\ln b}{b}$。

   • 对于非标准对数形式（如$e^3$与${\pi }^e$），可以利用第一问的切线不等式$f(x)\le \frac{1}{e}$进行放缩或通过特定的$x$值代入指导。

✅【答案】

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单调递增区间为$(0,e)$，单调递减区间为$(e,+\infty )$；最大数为$3^{\pi }$（因为底数和指数都很大），最小数为$3^e$；(3)排序与论证；$3^e<e^3<{\pi }^e<e^{\pi }<{\pi }^3<3^{\pi }$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求单调区间 函数$f(x)=\frac{\ln x}{x}$的定义范围为$(0,+\infty )$。 求导：$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\ln x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\ln x}{x^2}$。

• 令$f^{\prime }(x)>0⟹\ln x<1⟹0<x<e$；

• 令$f^{\prime }(x)<0⟹\ln x>1⟹x>e$故单调递增区间为$(0,e)$，单调递减区间为$(e,+\infty )$。

(2) 求最大数与最小数 根据(1)的结论，$f(x)$在$x=e$处达到极大值（也是顶）。 对于$x>e$，$f(x)$递减，故$f(e)>f(3)>f(\pi )$。

• $f(e)>f(\pi )⟹\frac{1}{e}>\frac{\ln \pi }{\pi }⟹\pi >e\ln \pi =\ln {\pi }^e⟹e^{\pi }>{\pi }^e$。

• $f(e)>f(3)⟹\frac{1}{e}>\frac{\ln 3}{3}⟹3>e\ln 3=\ln 3^e⟹e^3>3^e$。通过对数变换： $3^e<e^3<e^{\pi }$；$3^e<{\pi }^e<e^{\pi }$经过比较可知，最大数为$3^{\pi }$（因为底数和指数都很大），最小数为$3^e$注： 严谨论证需结合$3^{\pi }>{\pi }^3$（因$f(3)>f(\pi )$）。

(3) 排序与论证 由 (1)(2) 分析，初步顺序为$3^e<e^3<e^{\pi }$且${\pi }^e<e^{\pi }$。需要精确比较$e^3$与${\pi }^e$： 在$f(x)<f(e)=\frac{1}{e}$中令$x=\frac{e^2}{\pi }$。因为$e<3<\pi$，所以$\frac{e^2}{\pi }<e$。 在递增区间内，$f(\frac{e^2}{\pi })<f(e)$已建立。按照说明（参见解析图标）：$e\ln \pi >3$，即$\ln {\pi }^e>3=\ln e^3$，故$e^3<{\pi }^e$。同理比较$e^{\pi }$与${\pi }^3$： 由$f(3)>f(\pi )⟹\frac{\ln 3}{3}>\frac{\ln \pi }{\pi }⟹\pi \ln 3>3\ln \pi ⟹3^{\pi }>{\pi }^3$。

最终排序结果：

$3^e<e^3<{\pi }^e<e^{\pi }<{\pi }^3<3^{\pi }$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：导数研究单调性与利用 $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 比较大小

2. 核心方法：求导定单调区间，比较 $a^b$ 与 $b^a$ 转化为比较 $\frac{\ln a}{a}$ 与 $\frac{\ln b}{b}$

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: $f(x)=\frac{\ln x}{x}$ 的单调性与极值

2. 结论推广: 比较 $a^b$ 与 $b^a$ 等价于比较 $\frac{\ln a}{a}$ 与 $\frac{\ln b}{b}$。

3. 方法推广: 可迁移到导数比较幂指数大小、排序类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2023-新高考II卷-06 单-导数单调性
• 2013-新课标II卷理-21 解-导数单调性
• 2013-广东卷理-21 解-导数单调性