2015-湖北卷理-07 单-面积型几何概型

本题导读

本题考查几何概型的概率计算。通过在单位正方形区域内绘制不等式对应的平面区域，利用面积比来比较不同事件的概率大小。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 在区间 $[0,1]$ 上随机取两个数 $x,y$，记 $p_1$ 为事件 “$x+y\ge \frac{1}{2}$” 的概率，$p_2$ 为事件 “$|x-y|\le \frac{1}{2}$” 的概率，$p_3$ 为事件 “$xy\le \frac{1}{2}$” 的概率，则 ()

A. $p_1<p_2<p_3$　　　　　　　　　　　　　　　B. $p_2<p_3<p_1$

C. $p_3<p_1<p_2$　　　　　　　　　　　　　　　D. $p_3<p_2<p_1$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 确定总体区域：随机取两个数 $x,y\in [0,1]$，对应的总试验区域为一个单位正方形 $S=\{(x,y)|0\le x\le 1,0\le y\le 1\}$，其面积 $A(S)=1\times 1=1$。
2. 绘制事件区域并计算面积：
   • 对于 $p_1$：画出直线 $x+y=\frac{1}{2}$，求正方形内满足条件的面积 $S_1$。
   • 对于 $p_2$：画出双平行线 $|x-y|=\frac{1}{2}$（即 $y=x\pm \frac{1}{2}$），求夹在中间的面积 $S_2$。
   • 对于 $p_3$：画出双曲线 $xy=\frac{1}{2}$，利用定积分或面积拆分法求正方形内下方的面积 $S_3$。
3. 比较大小：根据几何概型公式 $P=\frac{\text{事件区域面积}}{\text{总区域面积}}$，直接比较三个面积的大小。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析 $p_1$ 事件 $A_1$: $x+y\ge \frac{1}{2}$。在单位正方形中，其补集为 $x+y<\frac{1}{2}$，是一个直角边为 $\frac{1}{2}$ 的等腰直角三角形。 其面积 $S_{\text{补}}=\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{8}$。 所以 $S_1=1-\frac{1}{8}=\frac{7}{8}=0.875$。

x[0,1] with the area x+y >= 1/2 shaded]

第二步：分析 $p_2$ 事件 $A_2$: $|x-y|\le \frac{1}{2}$，即 $-\frac{1}{2}\le x-y\le \frac{1}{2}$。 该区域是单位正方形中除去两个直角边为 $\frac{1}{2}$ 的等腰直角三角形。 两个三角形的总面积为 $2\times (\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\times \frac{1}{2})=\frac{1}{4}$。 所以 $S_2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}=0.75$。

x[0,1] with the area |x-y| ⇐ 1/2 shaded]

第三步：分析 $p_3$ 事件 $A_3$: $xy\le \frac{1}{2}$。由于 $x,y\le 1$，当 $0\le x\le \frac{1}{2}$ 时，$xy\le \frac{1}{2}$ 恒成立（面积为 $0.5$）。 当 $\frac{1}{2}<x\le 1$ 时，需要 $y\le \frac{1}{2x}$。 利用定积分计算：$S_3=\frac{1}{2}\times 1+{\int }_{1/2}^1\frac{1}{2x}dx=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ln 2\approx 0.5+0.346=0.846$。 (注：也可以通过图形直观观察，$S_3$ 略小于 $S_1$ 但大于 $S_2$)。

x[0,1] with the area xy ⇐ 1/2 shaded]

结论比较： $S_2=0.75$，$S_3\approx 0.846$，$S_1=0.875$。 由此得 $S_2<S_3<S_1$，即 $p_2<p_3<p_1$。

故选：B。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：几何概型的本质是将概率问题转化为长度、面积或体积的测度比。
• 关键技巧：
  1. 正难则反：计算 $p_1,p_2$ 时，计算外部空白三角形的面积再用 $1$ 减去，通常比直接算阴影面积更简单。
  2. 定积分应用：处理双曲线 $y=\frac{k}{x}$ 围成的面积时，定积分是标准且精确的方法。
• 避坑指南：注意 $p_3$ 的边界线 $y=\frac{1}{2x}$。当 $x=1$ 时 $y=0.5$，当 $x=0.5$ 时 $y=1$，这条弧线在正方形内部分割出的面积需要结合矩形和曲边梯形两部分计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 在单位正方形内，线性不等式的概率计算多涉及三角形、梯形；非线性（如 $xy\le k$ 或 $x^2+y^2\le k$）则涉及对数或圆周率。
• 方法推广: 在处理类似的选择题时，若时间紧迫，可以在同一个坐标系内画出三条边界线，通过视觉面积大小直接比对。
• 相关知识点: 二元一次不等式组表示的平面区域、导数与定积分的应用、连续型随机变量。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-07 单-平面区域的表示
• 2013年湖北卷理-7
• 2014-湖北卷理-14 填-新定义型问题