2015-湖北卷理-08 单-双曲线性质

本题导读

本题考查双曲线离心率的变化规律。通过将离心率表示为 $a$ 和 $b$ 的函数，分析当实半轴和虚半轴同时增加相同长度时，离心率随 $a$ 与 $b$ 相对大小关系而产生的增减变化。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 将离心率为 $e_1$ 的双曲线 $C_1$ 的实半轴长 $a$ 和虚半轴长 $b$ ($a\ne b$) 同时增加 $m$ ($m>0$) 个单位长度，得到离心率为 $e_2$ 的双曲线 $C_2$，则 ()

A. 对任意的 $a,b$，$e_1>e_2$

B. 当 $a>b$ 时，$e_1>e_2$；当 $a<b$ 时，$e_1<e_2$

C. 对任意的 $a,b$，$e_1<e_2$

D. 当 $a>b$ 时，$e_1<e_2$；当 $a<b$ 时，$e_1>e_2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立数学模型：双曲线的离心率公式为 $e=\frac{c}{a}=\sqrt{\frac{a^2+b^2}{a^2}}=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$。
2. 表达式对比：
   • 变换前：$e_1=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$
   • 变换后：$e_2=\sqrt{1+(\frac{b+m}{a+m}{)}^2}$
   • 比较 $e_1$ 与 $e_2$ 的大小，等价于比较 $\frac{b}{a}$ 与 $\frac{b+m}{a+m}$ 的大小。
3. 利用分式性质：
   • 考虑函数 $f(x)=\frac{b+x}{a+x}$ 的单调性，或者直接利用“糖水不等式”原理：
     • 若 $b<a$（真分数），分子分母同加正数，分数值变大。
     • 若 $b>a$（假分数），分子分母同加正数，分数值变小。
4. 分类讨论：根据 $a$ 与 $b$ 的大小关系，得出 $\frac{b}{a}$ 与 $\frac{b+m}{a+m}$ 的不等关系，从而确定 $e_1$ 与 $e_2$ 的大小。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：公式化简 由双曲线几何性质可知：$e^2=\frac{c^2}{a^2}=\frac{a^2+b^2}{a^2}=1+(\frac{b}{a}{)}^2$。 则 $e_1=\sqrt{1+(\frac{b}{a}{)}^2}$，$e_2=\sqrt{1+(\frac{b+m}{a+m}{)}^2}$。

第二步：比较分式大小 作差法：$\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}=\frac{a(b+m)-b(a+m)}{a(a+m)}=\frac{ab+am-ab-bm}{a(a+m)}=\frac{m(a-b)}{a(a+m)}$。 由于 $m>0$，$a>0$，$a+m>0$，差的正负仅取决于 $(a-b)$ 的正负。

第三步：结论判定

1. 当 $a>b$ 时，$a-b>0$，则 $\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}>0⟹\frac{b+m}{a+m}>\frac{b}{a}$。 此时 $e_2>e_1$，即 $e_1<e_2$。
2. 当 $a<b$ 时，$a-b<0$，则 $\frac{b+m}{a+m}-\frac{b}{a}<0⟹\frac{b+m}{a+m}<\frac{b}{a}$。 此时 $e_2<e_1$，即 $e_1>e_2$。

快速验证（特值法）：

• 设 $a=2,b=1,m=1$。则 $e_1=\sqrt{1+0.25}=\sqrt{1.25}$；$e_2=\sqrt{1+(2/3{)}^2}=\sqrt{1+4/9}=\sqrt{13/9}\approx \sqrt{1.44}$。可见 $e_1<e_2$。排除 A, B。
• 设 $a=1,b=2,m=1$。则 $e_1=\sqrt{1+4}=\sqrt{5}$；$e_2=\sqrt{1+(3/2{)}^2}=\sqrt{1+2.25}=\sqrt{3.25}$。可见 $e_1>e_2$。排除 C。

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：双曲线离心率的构造形式 $e=\sqrt{1+(b/a{)}^2}$。
• 数学思想：分类讨论思想。在比较分式 $\frac{b+m}{a+m}$ 与 $\frac{b}{a}$ 时，必须明确基数 $b/a$ 是大于 1 还是小于 1。
• 避坑指南：不要死记硬背结论。本题如果将“双曲线”改为“椭圆”，离心率公式变为 $e=\sqrt{1-(b/a{)}^2}$，结论将会完全不同。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: “糖水不等式”——在 $b$ 克糖水中加入 $m$ 克糖，如果原糖水较淡（$b<a$），则变甜；如果原糖水是纯糖（$b=a$），则不变。在数学上表示为：若 $a>b>0,m>0$，则 $\frac{b}{a}<\frac{b+m}{a+m}$。
• 方法推广: 处理圆锥曲线动态变化问题，将目标量（如 $e,k,S$）表达为基本参数（$a,b,c$）的函数是通用手段。
• 相关知识点: 渐近线斜率与离心率的关系 $\frac{b}{a}=\sqrt{e^2-1}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.05 圆锥曲线大题核心攻略
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2014-湖北卷理-08 单-体积公式
• 2013年湖北卷理-5
• 2014-湖北卷理-09 单-椭圆定义与离心率