2014-湖北卷理-21 解-抛物线定义

本题导读

本题考查抛物线方程的重力以及直线与抛物线交点个数的综合判定。第一问利用抛物线定义工件，第二问通过联立方程并结合别式与自变量限制条件进行复杂的分类讨论。

📌【题干】

Question

（2014年湖北卷(理)） 在平面直角坐标系$xOy$中，点$M$到点$F(1,0)$的距离比它到$y$轴的距离多1，记点$M$的轨迹为$C$.

(1) 求轨迹$C$的方程；

(2) 设斜坡度$k$的直线$l$过定点$P(-2,1)$，求直线$l$与饮食$C$恰有一个公共点，两个公共点，三个公共点时$k$的相应取值范围.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：设定$M(x,y)$，根据题意$|MF|=|x|+1$利用两点间距离公式展开，化简得到关于$x,y$注意的关系式。$x$的正负对绝对值的影响，最终形状为抛物线。

2. 第二问：

   • 设置直线$l:y-1=k(x+2)$。

   • 财务状况$C$分成两部分：$C_1$（抛物线段$y^2=4x,x\ge 0$）和$C_2$（x 轴负半轴$y=0,x<0$）。

   • 情况特殊：当$k=0$时，直线为$y=1$，直接代入验证。

   • 一般情况：将直线与$C_1$联立，得到一元二次方程，利用判别式$\Delta$及根的范围（$x\ge 0$）讨论$C_1$的交点；同时考虑直线与$C_2$的交点（即直线与$x$轴的交点是否在负半轴）。

   • 汇总结果：将两部分的交点相加，得到最终答案。

✅【答案】

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情况①：当$k=0$时间；恰有1个公共点；情况②：当$k\ne 0$时；子情况(i)：恰有1个公共点

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求轨迹$C$的方程 组$M(x,y)$，由题意得：

$\sqrt{(x-1{)}^2+y^2}=|x|+1$

平方得：

$(x-1{)}^2+y^2=(|x|+1{)}^2$

$x^2-2x+1+y^2=x^2+2|x|+1$

$y^2=2|x|+2x$

分类讨论：

• 当$x\ge 0$时，$y^2=2x+2x=4x$；

• 当$x<0$时，$y^2=-2x+2x=0$，即$y=0$。 故轨迹$C$的方程为：

  $y^2=\{\begin{array}{ll}4x,& x\ge 0\\ 0,& x<0\end{array}$

(2) 讨论公共点个数 直线$l$方程为$y-1=k(x+2)$。 与$x$轴的交点（令$y=0$）横坐标为$x_0=-\frac{1}{k}-2=-\frac{2k+1}{k}$（$k\ne 0$）。

情况①：当$k=0$时间 直线为$y=1$。代入$C$得$1^2=4x⟹x=\frac{1}{4}>0$同时直线与$C_1$有一个点，与$C_2$（$y=0$）无交点。 恰有1个公共点。

情况②：当$k\ne 0$时 联立$\{\begin{array}{l}y-1=k(x+2)\\ y^2=4x\end{array}⟹k{y}^2-4y+4(2k+1)=0(\star )$ 其判别式$\Delta =16-16k(2k+1)=-16(2k^2+k-1)=-16(2k-1)(k+1)$。

• 子情况(i)：恰有1个公共点 需主轴与直线$C_1$无交点且与$C_2$有1个，或直线与$C_1$有 1 个且与$C_2$无。经计算，当$k\in (-\infty ,-1)\cup (\frac{1}{2},+\infty )$时，$\Delta <0$，直线与$C_1$无交点。此时交$x$轴于$x_0=-\frac{2k+1}{k}$。若要与$C_2$有点，需$x_0<0$。 解得$k\in (-\infty ,-1)\cup (-\frac{1}{2},0)\cup (0,+\infty )$。 取交集得$k\in (-\infty ,-1)\cup (\frac{1}{2},+\infty )$。

• 子情况(ii)：恰有2个公共点 当$k=-1$或$k=\frac{1}{2}$时，$\Delta =0$，直线与$C_1$恰有一个公共点。此时验证$x_0$范围，均与$C_2$有一个交点。 当$k\in [-\frac{1}{2},0)$时，直线与$C_1$有两个交点，但与$C_2$无交点。故范围为$k\in \{-1,\frac{1}{2}\}\cup [-\frac{1}{2},0)$。

• 子情况(iii)：恰有3个公共点 需求满足$\Delta >0$且$x_0<0$且$C_1$有交点。 解得两个$k\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (0,\frac{1}{2})$。

总结：

• 恰有1个公共点：$k\in (-\infty ,-1)\cup \{0\}\cup (\frac{1}{2},+\infty )$；

• 恰有2个公共点：$k\in \{-1,\frac{1}{2}\}\cup [-\frac{1}{2},0)$；

• 恰有3个公共点：$k\in (-1,-\frac{1}{2})\cup (0,\frac{1}{2})$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：抛物线定义与直线与曲线交点个数

2. 核心方法：由 $|MF|=|x|+1$ 分类讨论求轨迹，联立直线用判别式与根的范围讨论交点个数

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线定义与判别式分类讨论

2. 结论推广: 轨迹为 $y^2=4x(x\ge 0)$ 与 $x$ 轴负半轴。

3. 方法推广: 可迁移到轨迹方程与直线与曲线交点个数分类讨论类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 02.01 常用逻辑用语
• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 18.03 抛物线专题全总结

类题演练 (Links)

• 2013-陕西卷理-20 解-抛物线定义
• 2013-湖南卷理-21 解-抛物线定义
• 2013-江西卷理-14 填-抛物线定义