2015-湖北卷理-22 解-导数单调性

本题导读

本题是 2015 年湖北理科卷的压轴大题。题目融合了导数研究函数性质、数列递推关系的发现与证明、以及利用平均值不等式进行复杂级数放缩证明。考查了极强的逻辑推理、代数运算和数学综合素养，难度极大。

📌【题干】

Question

（2015年湖北卷(理)） 已知数列 $\{a_n\}$ 的各项均为正数，$b_n=n(1+\frac{1}{n}{)}^n{a}_n$ ($n\in {\mathbf{N}}_{+}$)，$e$ 为自然对数的底数.

(1) 求函数 $f(x)=1+x-e^x$ 的单调区间，并比较 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ 与 $e$ 的大小；

(2) 计算 $\frac{b_1}{a_1},\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2},\frac{b_1{b}_2{b}_3}{a_1{a}_2{a}_3}$，由此推测计算 $\frac{b_1{b}_2\cdots b_n}{a_1{a}_2\cdots a_n}$ 的公式，并给出证明；

(3) 令 $c_n=(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^{\frac{1}{n}}$，数列 $\{a_n\},\{c_n\}$ 的前 $n$ 项和分别记为 $S_n,T_n$，证明：$T_n<e{S}_n$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（导数工具）：通过导数判定 $f(x)$ 单调性。利用 $f(x)\le f(0)=0$ 导出 $1+x<e^x$。令 $x=1/n$ 即可比较目标式与 $e$ 的大小。
2. 第二问（归纳推理）：
   • 观察规律：代入 $n=1,2,3$ 算出比值。例如 $n=1$ 时为 $2$，其结构呈现 $(n+1{)}^n$ 的趋势。
   • 严谨证明：使用数学归纳法。假设 $n=k$ 成立，推导 $n=k+1$ 时利用 $b_{k+1}$ 的定义进行消项合并。
3. 第三问（综合放缩）：
   • 重写 $c_n$：利用第二问结论，将 $a_1{a}_2\cdots a_n$ 表达为 $b_1{b}_2\cdots b_n$ 与 $(n+1{)}^n$ 的关系。
   • 应用平均值不等式：$c_n=\frac{(b_1{b}_2\cdots b_n{)}^{1/n}}{n+1}\le \frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n(n+1)}$。
   • 级数转化：利用裂项相消法 $\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ 处理求和，最后结合第一问中 $(1+1/n{)}^n<e$ 的结论进行二次放缩。

✅【答案】

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证毕

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）研究单调性与大小比较 $f^{\prime }(x)=1-e^x$。 令 $f^{\prime }(x)>0⟹x<0$；令 $f^{\prime }(x)<0⟹x>0$。 故 $f(x)$ 的单调递增区间为 $(-\infty ,0)$，单调递减区间为 $(0,+\infty )$。 当 $x>0$ 时，$f(x)<f(0)=0⟹1+x<e^x$。 令 $x=\frac{1}{n}$，得 $1+\frac{1}{n}<e^{\frac{1}{n}}$，两边 $n$ 次方得 $(1+\frac{1}{n}{)}^n<e$。

（Ⅱ）推测公式与证明 计算得：$\frac{b_1}{a_1}=1\cdot (1+1{)}^1=2=(1+1{)}^1$； $\frac{b_1{b}_2}{a_1{a}_2}=2\cdot 2(1+\frac{1}{2}{)}^2=4\cdot \frac{9}{4}=9=(2+1{)}^2$； $\frac{b_1{b}_2{b}_3}{a_1{a}_2{a}_3}=9\cdot 3(1+\frac{1}{3}{)}^3=27\cdot \frac{64}{27}=64=(3+1{)}^3$。 推测公式：$\frac{b_1{b}_2\cdots b_n}{a_1{a}_2\cdots a_n}=(n+1{)}^n$。

证明（数学归纳法）：

1. 当 $n=1$ 时，左边 $=2$，右边 $=2^1=2$，成立。
2. 假设 $n=k$ 时成立，即 $\frac{b_1\cdots b_k}{a_1\cdots a_k}=(k+1{)}^k$。 当 $n=k+1$ 时，$\frac{b_1\cdots b_{k+1}}{a_1\cdots a_{k+1}}=(k+1{)}^k\cdot \frac{b_{k+1}}{a_{k+1}}=(k+1{)}^k\cdot (k+1)(1+\frac{1}{k+1}{)}^{k+1}$ $=(k+1{)}^{k+1}\cdot (\frac{k+2}{k+1}{)}^{k+1}=(k+2{)}^{k+1}$。 故对一切正整数 $n$ 均成立。

（Ⅲ）证明 $T_n<e{S}_n$ 由（Ⅱ）知 $a_1{a}_2\cdots a_n=\frac{b_1{b}_2\cdots b_n}{(n+1{)}^n}$。 则 $c_n=\frac{(b_1{b}_2\cdots b_n{)}^{\frac{1}{n}}}{n+1}$。 根据平均值不等式（AM-GM）：$(b_1{b}_2\cdots b_n{)}^{\frac{1}{n}}\le \frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n}$。 所以 $c_n\le \frac{b_1+b_2+\cdots +b_n}{n(n+1)}$。 对 $c_n$ 求和得 $T_n={\sum }_{k=1}^n{c}_k\le {\sum }_{k=1}^n\frac{{\sum }_{i=1}^k{b}_i}{k(k+1)}$。 交换求和顺序（或裂项整理）： $T_n\le b_1(\frac{1}{1\cdot 2}+\cdots +\frac{1}{n(n+1)})+b_2(\frac{1}{2\cdot 3}+\dots )+\cdots +b_n\cdot \frac{1}{n(n+1)}$ 利用 $\frac{1}{i(i+1)}=\frac{1}{i}-\frac{1}{i+1}$ 裂项： $T_n\le {\sum }_{k=1}^n{b}_k(\frac{1}{k}-\frac{1}{n+1})<{\sum }_{k=1}^n\frac{b_k}{k}$。 将 $b_k=k(1+\frac{1}{k}{)}^k{a}_k$ 代入： $T_n<{\sum }_{k=1}^n(1+\frac{1}{k}{)}^k{a}_k$。 由（Ⅰ）知 $(1+\frac{1}{k}{)}^k<e$，且 $a_k>0$，则： $T_n<{\sum }_{k=1}^{n}e{a}_k=e{\sum }_{k=1}^n{a}_k=e{S}_n$。 证毕。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：导数构造不等式，数学归纳法的标准化步骤，级数求和中的交换求和项思想。
• 避坑指南：在第三问中，直接对 $a_i$ 使用平均值不等式无法出现 $e$。关键在于通过第二问的辅助数列 $b_i$ 进行中转。
• 本题第（Ⅲ）问实质上是著名的 Carleman 不等式 的一个精妙证明过程。这种通过构造辅助项进行裂项放缩的方法是解决高端级数不等式的杀手锏。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: Carleman 不等式 结论为 ${\sum }_{n=1}^{\infty }(a_1{a}_2\cdots a_n{)}^{\frac{1}{n}}<e{\sum }_{n=1}^{\infty }{a}_n$。
• 方法推广:
  • 裂项相消法：$\frac{1}{n(n+1)}$ 是最基础的裂项模型，务必熟练掌握保留项的对称性。
• 相关知识点: 、泰勒展开公式初步、级数收敛判定。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.07 一般数列的性质
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2013年湖北卷理-22
• 2012-湖北卷理-22
• 2014-湖北卷理-22 解-导数单调性