2015-湖南卷文-15 填-三角交点

本题导读

交点 $P_k=\left(\frac{\pi /4+k\pi }{\omega },\sqrt{2}(-1{)}^k\right)$；相邻距离 $\sqrt{t^2+8}$、隔一距离 $2t$（$t=\frac{\pi }{\omega }$），$\min =2\sqrt{3}$ 解得 $t=2$，$\omega =\frac{\pi }{2}$。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 已知 $\omega >0$，在函数 $y=2\sin \omega x$ 与 $y=2\cos \omega x$ 的图象的交点中，距离最短的两个交点的距离为 $2\sqrt{3}$，则 $\omega =$ $\underline{}$ .

🔍【思路分析】

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交点 $P_k=\left(\frac{\pi /4+k\pi }{\omega },\sqrt{2}(-1{)}^k\right)$；相邻距离 $\sqrt{t^2+8}$、隔一距离 $2t$（$t=\frac{\pi }{\omega }$），$\min =2\sqrt{3}$ 解得 $t=2$，$\omega =\frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{2}$

✍【详细解析】

Abstract

两图象的交点满足 $2\sin \omega x=2\cos \omega x$，即 $\tan \omega x=1$。因而交点可记为

$P_k=\left(\frac{\pi /4+k\pi }{\omega },\sqrt{2}(-1{)}^k\right),k\in \mathbf{Z}$。

令 $t=\frac{\pi }{\omega }>0$。相邻两个交点的横坐标相差 $t$，纵坐标相差 $2\sqrt{2}$，故相邻交点距离 $d_1=\sqrt{t^2+8}$；横坐标相差两个间隔的交点纵坐标相同，距离 $d_2=2t$。其余点对距离不小于这两类，故最短距离为 $\min \{d_1,d_2\}$。

题设 $\min \{\sqrt{t^2+8},2t\}=2\sqrt{3}$。若 $\sqrt{t^2+8}=2\sqrt{3}$，则 $t=2$；若 $2t=2\sqrt{3}$，则 $t=\sqrt{3}$，但此时 $\sqrt{t^2+8}=\sqrt{11}<2\sqrt{3}$，与最短距离矛盾。

故 $t=2$，$\omega =\frac{\pi }{t}=\frac{\pi }{2}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数图象的交点；两点间距离的最值

核心方法：解 $\tan \omega x=1$ 得交点通式，按”相邻/隔一”分类比较距离

避坑指南：①交点的纵坐标是 $\pm \sqrt{2}$ 而非 $\pm 2$（$\sin =\cos$ 时各自绝对值为 $\frac{\sqrt{2}}{2}\times 2$）；②最短距离要在 $d_1$ 与 $d_2$ 两类中取小，只验一类会漏解。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：两条正余弦曲线交点间的距离最值是图象与解析几何嫁接的新颖填空（doc 考点定位：三角函数图像与性质）。

结论推广：一般地，$y=A\sin \omega x$ 与 $y=A\cos \omega x$ 交点纵坐标为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}A$，相邻距离 $\sqrt{t^2+\frac{A^2}{2}\cdot 4}=\sqrt{t^2+2A^2}$（$t=\frac{\pi }{\omega }$），隔一距离 $2t$。

方法推广：周期曲线交点问题先写通式，再按”间隔数”分类枚举距离并比较大小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

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