2015-湖南卷文-16 解-摸球概率

本题导读

甲 3 种 $\times$ 乙 4 种 $=12$ 种结果；中奖须两箱都红，$2\times 2=4$ 种，$P=\frac{1}{3}<\frac{2}{3}=P(\text{不中奖})$，该说法不正确。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(文)） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有 2 个红球 $A_1$，$A_2$ 和 1 个白球 $B$ 的甲箱与装有 2 个红球 $a_1$，$a_2$ 和 2 个白球 $b_1$，$b_2$ 的乙箱中，各随机摸出 1 个球. 若摸出的 2 个球都是红球则中奖，否则不中奖.

(1) 用球的标号列出所有可能的摸出结果；

(2) 有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为正确吗？请说明理由.

🔍【思路分析】

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甲 3 种 $\times$ 乙 4 种 $=12$ 种结果；中奖须两箱都红，$2\times 2=4$ 种，$P=\frac{1}{3}<\frac{2}{3}=P(\text{不中奖})$，该说法不正确。

✅【答案】

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(1) 共 12 种结果（见解析）

(2) 不正确：$P(\text{中奖})=\frac{1}{3}<\frac{2}{3}=P(\text{不中奖})$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 甲箱有 $A_1$，$A_2$，$B$ 三种取法，乙箱有 $a_1$，$a_2$，$b_1$，$b_2$ 四种取法。由于两箱分别取球，所有可能的结果为

$\{(A_1,a_1),(A_1,a_2),(A_1,b_1),(A_1,b_2),(A_2,a_1),(A_2,a_2),(A_2,b_1),(A_2,b_2),(B,a_1),(B,a_2),(B,b_1),(B,b_2)\}$，共 $3\times 4=12$ 种。

(2) 每一种结果的概率都为 $\frac{1}{12}$。中奖须甲箱取到红球且乙箱取到红球，即 $\{(A_1,a_1),(A_1,a_2),(A_2,a_1),(A_2,a_2)\}$，故

$P(\text{中奖})=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$，$P(\text{不中奖})=1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

因为 $\frac{1}{3}<\frac{2}{3}$，所以”中奖概率大于不中奖概率”的说法不正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：古典概型；对立事件的概率

核心方法：乘法计数确定样本空间；有利场合数比样本总数

避坑指南：①列举要按序展开（甲的每个球配乙的每个球）防漏；②”红球多”是数量直觉，概率由有利场合比例决定，直觉不可代替计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：以商场促销为背景的概率大题，破除”红球多就易中”的直觉误区，是概率统计教育的经典设计（doc 考点定位：概率统计）。

结论推广：一般地，两箱摸球”都红”概率 $=\frac{r_1}{n_1}\cdot \frac{r_2}{n_2}$，本题 $\frac{2}{3}\times \frac{2}{4}=\frac{1}{3}$，与列举法一致。

方法推广：概率大题的列举法：固定一箱展开树状图；独立两步事件也可直接用乘法公式验算。

🔗【关联脉络】

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• 15.01 古典概型

类题演练(Links)

• 2012-湖南卷理-16
• 2008-湖南卷理-16
• 2015-湖南卷理-18 解-相互独立事件