2015-湖南卷理-18 解-相互独立事件

本题导读

本题考查相互独立事件的概率计算以及离心型随机变量的分布列与期望。核心在于识别抽奖过程为独立重复试验，并利用二项分布简化计算。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)）

某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额商品后即可抽奖.每次抽奖都从装有 4 个红球、6 个白球的甲箱和装有 5 个红球、5 个白球的乙箱中，各随机摸出 1 个球.在摸出的 2 个球中，若都是红球，则获一等奖；若只有 1 个红球，则获二等奖；若没有红球，则不获奖.

(1) 求顾客抽奖 1 次能获奖的概率；

(2) 若某顾客有 3 次抽奖机会，记该顾客在 3 次抽奖中获一等奖的次数为 $X$，求 $X$ 的分布列和数学期望.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（基础概率）：

• 获奖包含“一等奖”和“二等奖”两种互斥情况。

• 设从甲、乙箱中摸出红球分别为事件 $A,B$，由题意 $P(A)=0.4$，$P(B)=0.5$。

• 计算一等奖概率 $P_1$（$A$、$B$ 同时发生）和二等奖概率 $P_2$（一发一不发）。

2. 第二问（分布列与期望）：

• 识别模型：获一等奖的概率在每次抽奖中是恒定的，且各次抽奖相互独立，因此 $X$ 服从二项分布 $X\sim B(n,p)$。

• 确定参数：次数 $n=3$，单次获一等奖概率 $p$ 由第一问算出。

• 计算各点概率：利用公式 $P(X=k)=C_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$ 列出分布列。

• 计算期望：利用二项分布期望公式 $E(X)=np$。

✅【答案】

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（1）710.（2）𝑋∼𝐵(3,15)，且𝑃(𝑋=0)=

✍【详细解析】

Abstract

（1）求抽奖 1 次能获奖的概率

设事件 $A$ 为“从甲箱中摸出红球”，事件 $B$ 为“从乙箱中摸出红球”。

由题意知：$P(A)=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$，$P(B)=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$。

且事件 $A,B$ 相互独立。

• 获一等奖的概率 $P_1=P(AB)=P(A)P(B)=\frac{2}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}$。

• 获二等奖的概率 $P_2=P(A\bar{B}+\bar{A}B)=P(A)P(\bar{B})+P(\bar{A})P(B)$

$P_2=\frac{2}{5}\times (1-\frac{1}{2})+(1-\frac{2}{5})\times \frac{1}{2}=\frac{1}{5}+\frac{3}{10}=\frac{1}{2}$。

所以，抽奖 1 次能获奖的概率为：

$P=P_1+P_2=\frac{1}{5}+\frac{1}{2}=\frac{7}{10}$

（2）求 $X$ 的分布列和数学期望

由（1）可知，单次抽奖获一等奖的概率 $p=\frac{1}{5}$。

该顾客抽奖 3 次，获一等奖的次数 $X\sim B(3,\frac{1}{5})$。

$X$ 可能的取值为 $0,1,2,3$。

$P(X=0)=C_3^0(\frac{1}{5}{)}^0(\frac{4}{5}{)}^3=\frac{64}{125}$；

$P(X=1)=C_3^1(\frac{1}{5}{)}^1(\frac{4}{5}{)}^2=3\times \frac{1}{5}\times \frac{16}{25}=\frac{48}{125}$；

$P(X=2)=C_3^2(\frac{1}{5}{)}^2(\frac{4}{5}{)}^1=3\times \frac{1}{25}\times \frac{4}{5}=\frac{12}{125}$；

$P(X=3)=C_3^3(\frac{1}{5}{)}^3(\frac{4}{5}{)}^0=\frac{1}{125}$。

$X$ 的分布列为：

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 |

| :--- | :--- | :--- | :--- | :--- |

| $P$ | $\frac{64}{125}$ | $\frac{48}{125}$ | $\frac{12}{125}$ | $\frac{1}{125}$ |

数学期望：

$E(X)=np=3\times \frac{1}{5}=\frac{3}{5}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：相互独立事件概率公式；二项分布的判定与计算。

• 避坑指南：第一问求“获奖”概率时，别漏掉一等奖的情况（很多同学只算了二等奖）。第二问要求的是“获一等奖的次数”，概率应使用 $P_1$ 而非（1）的总概率。

• 在解答题中，写分布列前一定要先声明随机变量服从什么分布，这能显著提高解题速度并减少丢分风险。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广: 对于 $n$ 次独立重复试验，事件发生的次数 $X$ 服从二项分布，其方差 $D(X)=np(1-p)$。

• 方法推广:

• 正难则反：第一问也可以用 $1-P(\text{不获奖})$ 来算，即 $1-P(\bar{A}\bar{B})=1-\frac{3}{5}\times \frac{1}{2}=\frac{7}{10}$。

• 相关知识点: 互斥事件加法公式、超几何分布（不放回抽样）与二项分布的区别。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-18

• 2005-湖南卷理-18 解-离散型随机变量的

• 2011-湖南卷理-18