2015-湖南卷理-10 单-三视图

本题导读

本题考查三视图还原几何体以及空间几何体极值问题，重点检验将立体几何切削问题转化为函数最值（或均值不等式）求解的能力。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)） 某工件的三视图如图所示，现将该工件通过切削，加工成一个体积尽可能大的长方体新工件，并使新工件的一个面落在原工件的一个面内，则原工件材料的利用率为（材料的利用率 $=\frac{\text{新工件的体积}}{\text{原工件的体积}}$） ()

A. $\frac{8}{9\pi }$　　　　　B. $\frac{16}{9\pi }$　　　　　C. $\frac{4(\sqrt{2}-1{)}^3}{\pi }$　　　　　D. $\frac{12(\sqrt{2}-1{)}^3}{\pi }$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 由三视图确定原工件为底面半径 $R=1$、高 $H=2$ 的圆锥。
2. 新工件为内接于圆锥的长方体，且底面落在圆锥底面上。
3. 设内接长方体高为 $h$，底面矩形长宽分别为 $a,b$，利用相似三角形建立 $a,b,h$ 的关系式，表示出长方体体积。
4. 利用均值不等式求出长方体体积最大值，进而计算材料利用率。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

由三视图可知，原工件为一个圆锥，底面直径为 $2$（半径 $R=1$），高 $H=2$。 原工件体积为： $V_{\text{原}}=\frac{1}{3}\pi R^{2}H=\frac{1}{3}\pi (1{)}^2\times 2=\frac{2}{3}\pi$。

设切削出的长方体高为 $h$ ($0<h<2$)，其底面矩形落在圆锥底面上。 设底面矩形的长为 $a$，宽为 $b$，则矩形外接圆半径为 $r=\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}$。 由轴截面相似三角形性质可得： $\frac{r}{R}=\frac{H-h}{H}⟹\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{2}=\frac{2-h}{2}⟹a^2+b^2=(2-h{)}^2$。

由基本不等式 $a^2+b^2\ge 2ab$，可得 $ab\le \frac{a^2+b^2}{2}=\frac{(2-h{)}^2}{2}$（当且仅当 $a=b$ 即底面为正方形时等号成立）。

则长方体体积为： $V_{\text{新}}=abh\le \frac{1}{2}h(2-h{)}^2=\frac{1}{4}\cdot 2h\cdot (2-h)\cdot (2-h)$。

因为 $2h+(2-h)+(2-h)=4$ 为定值，由均值不等式可得： $2h(2-h{)}^2\le {\left(\frac{2h+2-h+2-h}{3}\right)}^3={\left(\frac{4}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$。 当且仅当 $2h=2-h⟹h=\frac{2}{3}$ 时取等号。

此时长方体最大体积为： $V_{\text{新}\max }=\frac{1}{4}\times \frac{64}{27}=\frac{16}{27}$。

因此，原工件材料的利用率为： $\eta =\frac{V_{\text{新}\max }}{V_{\text{原}}}=\frac{\frac{16}{27}}{\frac{2}{3}\pi }=\frac{16}{27}\times \frac{3}{2\pi }=\frac{8}{9\pi }$。

故选 A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：三视图还原、圆锥内接几何体极值问题、均值不等式求最值。
2. 核心方法：模型转化（圆锥内接长方体最值归结为正方形截面）与均值不等式凑项法。
3. 避坑指南：设长方体底面边长时，易忽略正方形底面体积最大这一结论；在运用均值不等式时，需注意配系数凑出定值和 $2h+(2-h)+(2-h)=4$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于工程应用中的“最大材料利用率”问题，本质是古典立体几何的最值最优化模型。
2. 结论推广：对任意高为 $H$、底面半径为 $R$ 的圆锥，其内接长方体的最大体积发生在底面为正方形且高 $h=\frac{1}{3}H$ 时，其最大体积为 $V_{\max }=\frac{4}{27}{R}^{2}H$；内接长方体体积与圆锥体积的最大比值恒为 $\frac{8}{9\pi }$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2013年湖南卷理-10
• 2014-湖南卷理-13 填-绝对值不等式
• 2014-湖南卷理-14 填-线性规划