2014-湖南卷理-13 填-绝对值不等式

本题导读

本题考查含参绝对值不等式的逆向求解。核心在于理解不等式 $|f(x)|<c$ 的解集边界即为对应方程 $|f(x)|=c$ 的根，通过代入边界值建立关于参数 $a$ 的方程即可快速求解。

📌【题干】

Question

（2014年湖南卷(理)） 若关于 $x$ 的不等式 $|ax-2|<3$ 的解集为 $\left\{x\mid -\frac{5}{3}<x<\frac{1}{3}\right\}$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用绝对值性质去绝对值： $|ax-2|<3⟺-3<ax-2<3$ 进一步整理得：$-1<ax<5$。
2. 利用解集边界对应方程根： 由于解集是开区间 $\left(-\frac{5}{3},\frac{1}{3}\right)$，其边界值 $x=-\frac{5}{3}$ 和 $x=\frac{1}{3}$ 必须使 $|ax-2|=3$ 成立。
3. 建立方程求解： 将 $x=\frac{1}{3}$ 或 $x=-\frac{5}{3}$ 代入方程 $|ax-2|=3$。 例如代入 $x=\frac{1}{3}$ 得：$|\frac{1}{3}a-2|=3$。 解出 $a$ 后，需回代验证解集区间方向是否一致（即确认 $a$ 的正负号对不等号方向的影响）。

✅【答案】

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$-3$

✍【详细解析】

Abstract

方法一：利用边界值代入（最简法） 根据不等式性质，解集的端点值是对应方程的根。 将 $x=\frac{1}{3}$ 代入方程 $|ax-2|=3$ 得： $\left|\frac{1}{3}a-2\right|=3$ 则 $\frac{1}{3}a-2=3$ 或 $\frac{1}{3}a-2=-3$。

• 解得 $a=15$ 或 $a=-3$。

方法二：验证与排除

• 若 $a=15$，不等式为 $|15x-2|<3⟹-3<15x-2<3⟹-1<15x<5⟹-\frac{1}{15}<x<\frac{1}{3}$。 这与已知解集不符，排除。
• 若 $a=-3$，不等式为 $|-3x-2|<3⟹-3<-3x-2<3⟹-1<-3x<5$。 两边同除以 $-3$（不等号反向）： $\frac{1}{3}>x>-\frac{5}{3}$ 即 $-\frac{5}{3}<x<\frac{1}{3}$。符合题意。

故答案为 $-3$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含参绝对值不等式逆向求解

2. 核心方法：解集端点代入 $|ax-2|=3$ 求 $a$，再回代验证方向

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值不等式解集与方程根

2. 结论推广: 不等式 $|f(x)|<c$ 解集端点是 $|f(x)|=c$ 的根。

3. 方法推广: 可迁移到含参绝对值不等式求参类题

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-江西卷文-15 填-绝对值不等式