2015-湖南卷理-14 填-等差数列

本题导读

本题考查等差数列与等比数列基础知识的综合运用。通过等差中项性质建立方程，求解等比数列的公比，进而求出通项公式。

📌【题干】

Question

（2015年湖南卷(理)）

设 $S_n$ 为等比数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_1=1$，且 $3S_1$，$2S_2$，$S_3$ 成等差数列，则 $a_n=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用等差数列性质：根据“三数成等差数列”，利用等差中项性质建立方程：$2\times (2S_2)=3S_1+S_3$。

2. 基本量转化：将 $S_1,S_2,S_3$ 用首项 $a_1$ 和公比 $q$ 表示：

• $S_1=a_1$

• $S_2=a_1+a_{1}q$

• $S_3=a_1+a_{1}q+a_1{q}^2$

3. 求解公比 $q$：代入已知 $a_1=1$，解关于 $q$ 的一元二次方程。

4. 得出通项公式：利用 $a_n=a_1{q}^{n-1}$ 写出最终结果。

✅【答案】

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$3^{n-1}$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立等差中项方程

因为 $3S_1,2S_2,S_3$ 成等差数列，根据等差中项定义有：

$2\times (2S_2)=3S_1+S_3⟹4S_2=3S_1+S_3$

第二步：代入基本量公式

已知 $a_1=1$，则前 $n$ 项和分别为：

• $S_1=a_1=1$

• $S_2=a_1+a_2=1+q$

• $S_3=a_1+a_2+a_3=1+q+q^2$

代入方程得：

$4(1+q)=3(1)+(1+q+q^2)$

$4+4q=3+1+q+q^2$

$4+4q=4+q+q^2$

第三步：求解公比 $q$

化简方程：

$q^2-3q=0⟹q(q-3)=0$

解得 $q=0$（舍去，等比数列公比 $q\ne 0$）或 $q=3$。

第四步：求通项公式

已知 $a_1=1,q=3$，根据等比数列通项公式 $a_n=a_1\cdot q^{n-1}$：

$a_n=1\cdot 3^{n-1}=3^{n-1}$

答案：$3^{n-1}$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：等差中项公式 $2b=a+c$；等比数列基本量 $a_1,q,a_n,S_n$ 的互相转化。

• 核心方法：基本量法。将数列的所有已知条件转化为关于 $a_1$ 和 $q$（或 $d$）的方程，是解决此类问题的万能思路。

• 避坑指南：在展开 $S_n$ 时，直接用各项之和（如 $1+q+q^2$）通常比使用求和公式 $\frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$ 更简洁，尤其是项数较少且 $q$ 可能等于 $1$ 的时候。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 结论推广：若三数成等比数列，则中项的平方等于前后两项的积（即等比中项 $b^2=ac$）。

• 方法推广：处理等差、等比混合数列题，核心思想是“代换降维”，即统一使用首项和公差/公比来表达。

• 相关知识点：数列求和的常用方法（错位相减、裂项相消）、特殊数列的通项性质。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

• 2014-湖南卷理-20 解-数列通项

• 2005-湖南卷理-03 单-等差数列的通项公式

• 2011-湖南卷理-12