2011-福建卷理-15 填-向量

本题导读

本题考查映射与新定义题型，以及仿射变换与线性映射。

📌【题干】

Question

（2011年福建卷(理)） 设 $V$ 是全体平面向量构成的集合，若映射 $f:V\to \mathbf{R}$ 满足：对任意向量 $\mathbf{a}=(x_1,y_1)\in V,\mathbf{b}=(x_2,y_2)\in V$，以及任意 $\lambda \in \mathbf{R}$，均有 $f(\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda )\mathbf{b})=\lambda f(\mathbf{a})+(1-\lambda )f(\mathbf{b})$，则称映射 $f$ 具有性质 $P$. 现给出如下映射： ① $f_1:V\to \mathbf{R},f_1(\mathbf{m})=x-y,\mathbf{m}=(x,y)\in V$； ② $f_2:V\to \mathbf{R},f_2(\mathbf{m})=x^2+y,\mathbf{m}=(x,y)\in V$； ③ $f_3:V\to \mathbf{R},f_3(\mathbf{m})=x+y+1,\mathbf{m}=(x,y)\in V$. 其中，具有性质 $P$ 的映射的序号为$\underline{}$. (写出所有具有性质 $P$ 的映射的序号)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深入理解新定义性质 $P$：$f$ 保持向量的仿射线性组合不变，即要求 $f(x,y)$ 为 $x,y$ 的仿射函数（形式为 $f(x,y)=Ax+By+C$）。
2. 对 ①：函数为一阶齐次线性函数，展开代入验证性质 $P$。
3. 对 ②：包含二次项 $x^2$，取特殊反例判断是否出现交叉项破坏恒等式。
4. 对 ③：函数为一阶非齐次线性（仿射）函数，展开代入验证性质 $P$。

✅【答案】

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①③

✍【详细解析】

Abstract

设 $\mathbf{a}=(x_1,y_1)$，$\mathbf{b}=(x_2,y_2)$，则对任意 $\lambda \in \mathbf{R}$：

$$\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda )\mathbf{b}=(\lambda x_1+(1-\lambda )x_2,\lambda y_1+(1-\lambda )y_2).$$

对于 ① $f_1(\mathbf{m})=x-y$：

$$\begin{array}{rl}{f}_1(\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda )\mathbf{b})& =[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]-[\lambda y_1+(1-\lambda )y_2]\\ & =\lambda (x_1-y_1)+(1-\lambda )(x_2-y_2)\\ & =\lambda f_1(\mathbf{a})+(1-\lambda )f_1(\mathbf{b}).\end{array}$$

等式对任意 $\mathbf{a},\mathbf{b},\lambda$ 恒成立，故 ① 具有性质 $P$。

对于 ② $f_2(\mathbf{m})=x^2+y$： 取 $\mathbf{a}=(1,0)$，$\mathbf{b}=(0,0)$，$\lambda =\frac{1}{2}$。 则 $\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda )\mathbf{b}=\left(\frac{1}{2},0\right)$。 左边 $=f_2\left(\frac{1}{2},0\right)={\left(\frac{1}{2}\right)}^2+0=\frac{1}{4}$； 右边 $=\frac{1}{2}{f}_2(1,0)+\frac{1}{2}{f}_2(0,0)=\frac{1}{2}(1^2+0)+\frac{1}{2}(0)=\frac{1}{2}$。 因为 $\frac{1}{4}\ne \frac{1}{2}$，等式不成立，故 ② 不具有性质 $P$。

对于 ③ $f_3(\mathbf{m})=x+y+1$：

$$\begin{array}{rl}{f}_3(\lambda \mathbf{a}+(1-\lambda )\mathbf{b})& =[\lambda x_1+(1-\lambda )x_2]+[\lambda y_1+(1-\lambda )y_2]+1\\ & =\lambda (x_1+y_1)+(1-\lambda )(x_2+y_2)+[\lambda +(1-\lambda )]\\ & =\lambda (x_1+y_1+1)+(1-\lambda )(x_2+y_2+1)\\ & =\lambda f_3(\mathbf{a})+(1-\lambda )f_3(\mathbf{b}).\end{array}$$

等式对任意 $\mathbf{a},\mathbf{b},\lambda$ 恒成立，故 ③ 具有性质 $P$。

综上所述，具有性质 $P$ 的映射序号为 ①③。

故答案为：①③。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：高等代数背景下的仿射映射定义（保持仿射组合不变）、映射与集合对应关系。
• 核心方法：
• 充分利用恒等式的线性结构；
• 否定全称命题时采用特值反例法。
• 避坑指南：容易将性质 $P$ 误等同于纯线性映射（即误以为常数项为 0），导致错漏 ③。注意 $\lambda +(1-\lambda )=1$，常数项在此组合下是严格守恒的。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 试题探源：源自泛函分析与高等代数中的“仿射泛函（Affine Functional）”。保持凸组合与仿射组合不变的充要形式为一阶多项式 $f(x_1,\dots ,x_n)=\sum c_i{x}_i+c_0$。
• 结论推广：对于映射 $f:{\mathbf{R}}^n\to \mathbf{R}$，其满足性质 $P$ 的充要条件是 $f$ 为仿射变换，即其表达式为坐标的多元一次多项式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 09.02 平面向量的线性运算

类题演练 (Links)

• 2008-湖北卷文-01 单-向量数量积坐标运算
• 2008-湖南卷文-11 填-向量模坐标运算
• 2015-福建卷文-07 单-平面向量坐标运算