2015-福建卷理-05 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划的基础应用。通过画出约束条件确定的可行域，利用平移目标函数直线的方法观察截距的变化，从而确定目标函数取得最小值的顶点位置。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 若变量 $x,y$ 满足约束条件 $\{\begin{array}{l}x+2y\ge 0\\ x-y\le 0\\ x-2y+2\ge 0\end{array}$，则 $z=2x-y$ 的最小值等于 ()

A. $-\frac{5}{2}$　　　　　　B. $-2$　　　　　　C. $-\frac{3}{2}$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绘制可行域：在直角坐标系中画出三条直线 $x+2y=0$，$x-y=0$，$x-2y+2=0$，根据不等号方向确定围成的封闭阴影区域（三角形区域）。
2. 分析目标函数：将 $z=2x-y$ 变形为直线的斜截式：$y=2x-z$。
3. 几何意义转化：$-z$ 代表直线在 $y$ 轴上的截距。要求 $z$ 的最小值，即要求截距 $-z$ 的最大值。
4. 平移找点：将斜率为 2 的直线从可行域上方由上向下平移，最先接触到区域的顶点即为使截距最大的点，即 $z$ 的最小值点。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定可行域顶点 联立方程组求交点：

• 由 $\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ x-y=0\end{array}⟹O(0,0)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}x-y=0\\ x-2y+2=0\end{array}⟹A(2,2)$；

• 由 $\{\begin{array}{l}x+2y=0\\ x-2y+2=0\end{array}⟹B(-1,\frac{1}{2})$。

第二步：平移目标函数直线 目标函数 $z=2x-y$ 对应直线系 $y=2x-z$。其斜率为 2。 观察图形，可行域的边界直线 $x-y=0$ 斜率为 1，$x-2y+2=0$ 斜率为 $0.5$。 目标函数的斜率较大。当直线 $y=2x-z$ 经过点 $B(-1,\frac{1}{2})$ 时，直线在 $y$ 轴上的截距 $-z$ 达到最大，此时 $z$ 取得最小值。

第三步：代入计算 将点 $B(-1,\frac{1}{2})$ 代入 $z=2x-y$： $z_{\min }=2\times (-1)-\frac{1}{2}=-2-\frac{1}{2}=-\frac{5}{2}$。

故选：A。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 截距的正负逻辑：这是线性规划中最容易出错的点。若目标函数 $z=ax+by$ 中 $b<0$，则 $z$ 与截距的变化趋势相反。
2. 顶点代入法（快速提速）：在选择题中，只要确定可行域是封闭的多边形，目标函数的最值一定在顶点处取得。可以直接求出三个顶点坐标代入比较，省去平移分析的时间。
3. 作图准确性：不需要极其精确，但各直线的相对斜率大小必须画对，否则会找错最值点。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果可行域不封闭，则必须使用平移法。若目标函数是 $z=x^2+y^2$，则几何意义变为“区域内的点到原点距离的平方”。
• 变式思考: 若要求 $z=2x-y$ 的最大值，应该在哪个点取得？ (提示：将直线向下平移，经过点 $A(2,2)$ 时截距最小，$z$ 最大，值为 $z=4-2=2$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

A

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题
• 2013年福建卷理-10
• 2013年福建卷理-11