2015-福建卷理-09 单-向量坐标运算

本题导读

本题是 2015 年福建理科卷选择题中的压轴倾向题。核心考点是将几何条件转化为代数坐标运算，并利用基本不等式求解数量积的最大值。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 已知 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$，$|\overrightarrow{AB}|=\frac{1}{t}$，$|\overrightarrow{AC}|=t$，若 $P$ 点是 $△ABC$ 所在平面内的一点，且 $\overrightarrow{AP}=\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}+\frac{4\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}$，则 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值等于 ()

A. 13　　　　　　　B. 15　　　　　　　C. 19　　　　　　　D. 21

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立坐标系：由于 $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$，以 $A$ 为坐标原点，$AB,AC$ 所在直线分别为 $x,y$ 轴建立直角坐标系。
2. 坐标化关键点：表示出 $A,B,C$ 三点的坐标，并利用 $\overrightarrow{AP}$ 的表达式求出 $P$ 点坐标。
3. 计算向量积：写出 $\overrightarrow{PB}$ 和 $\overrightarrow{PC}$ 的坐标，计算其数量积得到关于变量 $t$ 的表达式。
4. 求最值：利用基本不等式 $a+b\ge 2\sqrt{ab}$（注意符号方向，此处是减去一个正项求最大值）求出该表达式的最大值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：建立坐标系并表示坐标 以 $A$ 为原点，$AB$ 所在直线为 $x$ 轴，$AC$ 所在直线为 $y$ 轴。 由题意得：$A(0,0)$，$B(\frac{1}{t},0)$，$C(0,t)$。 单位向量 $\frac{\overrightarrow{AB}}{|\overrightarrow{AB}|}=(1,0)$，$\frac{\overrightarrow{AC}}{|\overrightarrow{AC}|}=(0,1)$。 代入 $\overrightarrow{AP}$ 的表达式： $\overrightarrow{AP}=1\cdot (1,0)+4\cdot (0,1)=(1,4)$。 故点 $P$ 的坐标为 $(1,4)$。

第二步：计算数量积 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ $\overrightarrow{PB}=(\frac{1}{t}-1,0-4)=(\frac{1}{t}-1,-4)$ $\overrightarrow{PC}=(0-1,t-4)=(-1,t-4)$ $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=(\frac{1}{t}-1)\cdot (-1)+(-4)\cdot (t-4)$ $=-\frac{1}{t}+1-4t+16$ $=17-(\frac{1}{t}+4t)$

第三步：应用基本不等式求最值 因为 $t>0$，所以 $\frac{1}{t}+4t>0$。 根据基本不等式：$\frac{1}{t}+4t\ge 2\sqrt{\frac{1}{t}\cdot 4t}=2\sqrt{4}=4$。 （当且仅当 $\frac{1}{t}=4t$，即 $t=\frac{1}{2}$ 时取等号）。 那么，$17-(\frac{1}{t}+4t)\le 17-4=13$。 所以 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 的最大值为 13。

故选：A。 

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 坐标法的优越性：对于垂直关系明显的几何题目，建立直角坐标系能将抽象的向量运算转化为简单的代数加减乘除，降低思考难度。
2. 单位向量的理解：$\frac{\vec{a}}{|\vec{a}|}$ 表示与 $\vec{a}$ 同向的单位向量，其模长恒为 1。
3. 不等式方向判定：本题目标式是“常数减去变量和”，因此求变量和的最小值即对应目标式的最大值。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以使用纯几何法。 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}=(\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AP})\cdot (\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AP})$，展开后代入已知长度关系，但运算过程较坐标法繁琐。
• 变式思考: 若要求 $\overrightarrow{PB}\cdot \overrightarrow{PC}$ 的最小值，在该条件下是否存在？ (提示：由双撇型函数 $y=17-(4t+1/t)$ 的图象可知，随着 $t\to 0$ 或 $t\to \infty$，该值趋向 $-\infty$，故不存在最小值。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 09.04 平面向量的坐标运算
• 03.02 均值不等式

类题演练(Links)

• 2013年福建卷理-7
• 2014-福建卷理-11 填-简单的线性规划问题
• 2014-福建卷理-13 填-基本不等式的应用