2015-福建卷理-15 填-模运算

本题导读

本题以二元码通信为背景，考查新定义运算下的逻辑推理能力。解题核心在于理解 $\oplus$ 运算（异或）的本质：相同为 0，不同为 1（或视为不进位的加法），通过将错误码代入校验方程组，观察哪些方程不成立，从而锁定出错的位数。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 一个二元码是由 0 和 1 组成的数字串 $x_1{x}_2\dots x_n$ ($n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$)，其中 $x_k$ ($k=1,2,\dots ,n$) 称为第 $k$ 位码元.已知某种二元码 $x_1{x}_2\dots x_7$ 的码元满足如下校验方程组： $\{\begin{array}{l}{x}_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=0\\ x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=0\\ x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=0\end{array}$ 其中运算 $\oplus$ 定义为：$0\oplus 0=0,0\oplus 1=1,1\oplus 0=1,1\oplus 1=0$. 现已知一个这种二元码在通信过程中仅在第 $k$ 位发生码元错误后变成了 1101101，那么利用上述校验方程组可判定 $k$ 等于 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 理解运算本质：$\oplus$ 运算实际上是模2加法。多个数连加时，若 1 的个数为偶数，结果为 0；若 1 的个数为奇数，结果为 1。
2. 提取码元：将错误码 1101101 对应的位值提取出来，即 $x_1=1,x_2=1,x_3=0,x_4=1,x_5=1,x_6=0,x_7=1$。
3. 代入校验方程：
   • 将这 7 个值代入方程组的三个等式中，计算左边的值。
   • 如果某个等式不成立（结果为 1），说明参与该等式运算的某一位码元出错了。
4. 逻辑锁定：找出同时导致不成立方程的共用码元位，结合“仅有一位出错”的已知条件锁定 $k$。

✅【答案】

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5

✍【详细解析】

Abstract

第一步：代入已知错误码进行校验 令 $x_1=1,x_2=1,x_3=0,x_4=1,x_5=1,x_6=0,x_7=1$。

1. 校验方程 (1)：$x_4\oplus x_5\oplus x_6\oplus x_7=1\oplus 1\oplus 0\oplus 1=(1\oplus 1)\oplus (0\oplus 1)=0\oplus 1=1$。 结果为 1，不符合方程（应为 0），说明错误位在 $\{x_4,x_5,x_6,x_7\}$ 之中。

2. 校验方程 (2)：$x_2\oplus x_3\oplus x_6\oplus x_7=1\oplus 0\oplus 0\oplus 1=(1\oplus 0)\oplus (0\oplus 1)=1\oplus 1=0$。 结果为 0，符合方程，说明错误位不在 $\{x_2,x_3,x_6,x_7\}$ 之中。由此可排除 $x_6,x_7$。

3. 校验方程 (3)：$x_1\oplus x_3\oplus x_5\oplus x_7=1\oplus 0\oplus 1\oplus 1=(1\oplus 0)\oplus (1\oplus 1)=1\oplus 0=1$。 结果为 1，不符合方程（应为 0），说明错误位在 $\{x_1,x_3,x_5,x_7\}$ 之中。

第二步：逻辑推理锁定 $k$

• 由方程 (1) 错知：$k\in \{4,5,6,7\}$；
• 由方程 (2) 对知：$k\notin \{2,3,6,7\}$；
• 由方程 (3) 错知：$k\in \{1,3,5,7\}$。

同时满足这三个条件的位只有： $k\in \{4,5,6,7\}\cap \{1,3,5,7\}=\{5,7\}$。 再结合 $k\notin \{2,3,6,7\}$，排除 7。 故只有 $k=5$ 符合所有逻辑。

故答案为：5。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 背景知识：本题背景是计算机科学中的 海明码（Hamming Code） 校验原理。每个方程负责校验特定的位，通过错误反馈的“组合”可以精确定位出错点。
2. 计算技巧：在处理多个 0, 1 的 $\oplus$ 运算时，直接数 1 的个数。奇数个 1 结果为 1，偶数个 1 结果为 0。
3. 审题关键：注意“仅在第 $k$ 位发生错误”这一前提，这保证了解的唯一性。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 这种方法本质上是二进制定位。如果我们把三个方程的校验结果（错为1，对为0）按顺序排列，得到二进制串 $(1,0,1{)}_2=5_{10}$，这个数字直接就是出错的位数 $k$。这就是海明码设计的精妙之处。
• 变式思考: 如果输出结果是三个方程都成立（全为 0），这说明了什么？ (提示：说明没有发生单位错误，或者发生了校验组无法检测的多位错误。)

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