2014-福建卷理-15 填-逻辑推理

本题导读

本题是一道结合了逻辑推理和排列组合的综合题。解题的关键在于通过逻辑互斥关系，首先判定命题①必定为假，随后对剩下的三个命题“孰真孰假”进行分类讨论，结合排列的互异性求出所有可能的数组。

📌【题干】

Question

（2014年福建卷(理)） 若集合 $\{a,b,c,d\}=\{1,2,3,4\}$，且下列四个关系：

① $a=1$; ② $b\ne 1$; ③ $c=2$; ④ $d\ne 4$ 有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组 $(a,b,c,d)$ 的个数是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 寻找逻辑冲突，排除必然项：题目要求四个关系中“有且只有一个是正确的”。我们先假设①正确，即 $a=1$，因为集合中四个元素互不相同，所以 $b$ 只能是 2, 3, 4 中的一个，这就意味着 $b\ne 1$ 也必定成立，即②也正确了。这与“只有一个正确”矛盾！因此，①必定是错误的，即推导出隐藏条件 $a\ne 1$。
2. 分类讨论：既然①必为假，那么唯一的“真”话只能在②、③、④中产生。我们分三种情况：
   • 情况一：仅②真（即②真，③④假）。
   • 情况二：仅③真（即③真，②④假）。
   • 情况三：仅④真（即④真，②③假）。
3. 逐一推演枚举：在每种情况下，列出确定的数值关系，再将剩下的数字全排列，排除不符合条件的，统计个数即可。

✅【答案】

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6

✍【详细解析】

Abstract

记四个命题分别为 $P_1,P_2,P_3,P_4$。 由题意，$(a,b,c,d)$ 是 $(1,2,3,4)$ 的一个排列。 若 $P_1$ 正确（$a=1$），则 $b$ 必不为 1，从而 $P_2$（$b\ne 1$）也正确，这与“只有一个正确”矛盾。 故 $P_1$ 必定为假，即 $a\ne 1$。 因为四个命题中有且只有一个正确，所以正确的命题只能是 $P_2,P_3,P_4$ 中的一个。分以下三种情况讨论：

情况一：仅 $P_2$ 正确 此时 $P_2$ 真，$P_3,P_4$ 假。 推导可得：$b\ne 1$（真），$c\ne 2$（真变假，即 $c\ne 2$），$d=4$（假，即 $d=4$）。 又已知 $P_1$ 假，即 $a\ne 1$。 既然 $a\ne 1$ 且 $b\ne 1$，而集合中有 1，所以 1 只能分配给 $c$，即 $c=1$（满足 $c\ne 2$）。 目前已确定 $d=4,c=1$。剩下的数字 2 和 3 分配给 $a$ 和 $b$。 此时 $a\in \{2,3\},b\in \{2,3\}$，可知都满足 $a\ne 1$ 和 $b\ne 1$。 因此有 2 种数组：$(2,3,1,4)$ 和 $(3,2,1,4)$。

情况二：仅 $P_3$ 正确 此时 $P_3$ 真，$P_2,P_4$ 假。 推导可得：$c=2$（真），$b=1$（假，即 $b=1$），$d=4$（假，即 $d=4$）。 集合剩下数字只有 3，所以 $a=3$（满足 $a\ne 1$）。 因此只有 1 种数组：$(3,1,2,4)$。

情况三：仅 $P_4$ 正确 此时 $P_4$ 真，$P_2,P_3$ 假。 推导可得：$d\ne 4$（真），$b=1$（假，即 $b=1$），$c\ne 2$（真变假，即 $c\ne 2$）。 已知 $b=1$，则 $a,c,d$ 在 $\{2,3,4\}$ 中进行排列。 要满足的条件是：$c\ne 2$ 且 $d\ne 4$（$a\ne 1$ 天然成立，因为 $b=1$）。 对 $\{2,3,4\}$ 进行全排列，共 6 种情况：

• $c=2,d=3,a=4$ （不满足 $c\ne 2$）
• $c=2,d=4,a=3$ （不满足 $c\ne 2$）
• $c=3,d=2,a=4$ （满足，即 $(4,1,3,2)$）
• $c=3,d=4,a=2$ （不满足 $d\ne 4$）
• $c=4,d=2,a=3$ （满足，即 $(3,1,4,2)$）
• $c=4,d=3,a=2$ （满足，即 $(2,1,4,3)$） 因此有 3 种数组。

综上所述，符合条件的有序数组共有 $2+1+3=6$ 种。

故答案为 6

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：逻辑推理与排列组合计数

2. 核心方法：先由矛盾排除①，再分仅②/仅③/仅④真三种情况枚举排列

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 真假命题分类讨论与排列

2. 结论推广: “有且只有一个正确”可先排除必然相矛盾的命题。

3. 方法推广: 可迁移到含真值约束的有序数组计数类题

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算
• 02.01 常用逻辑用语
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2014-新课标I卷文-14 填-逻辑推理