2015-福建卷理-16 解-统计与概率

本题导读

本题是解答题的第一道，考查概率统计的综合应用。第一问要求掌握分层抽样的比例分配；第二问要求准确列出随机变量的所有可能取值，计算相应概率并规范书写分布列与期望。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 某银行柜台设有两个服务窗口，假设服务窗口满员时，排队等待的人数 $X$ 是一个随机变量，其分布列如下：

| $X$ | 0 | 1 | 2 | 3 | | $P$ | 0.1 | 0.3 | 0.4 | 0.2 |

(1) 从排队等待的人数 $X$ 中随机抽取 2 个进行观察，求这 2 个人中恰好有 1 个人等待人数为 2 的概率；

(2) 若银行规定：当等待人数 $X\ge 2$ 时，开启第三个服务窗口.现从这 4 种等待情况中随机抽取 2 种情况，记开启第三个窗口的次数为 $\xi$，求 $\xi$ 的分布列及数学期望 $E(\xi )$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（古典概型）：这实际上是一个简单的独立重复试验或组合问题。已知 $P(X=2)=0.4$，抽两次，一次是 2 人，一次不是 2 人，直接利用乘法原理和加法原理求解。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定条件：开启窗口的条件是 $X\in \{2,3\}$。
   • 分析变量取值：从 $\{0,1,2,3\}$ 这 4 种情况中抽取 2 种，开启窗口的次数 $\xi$ 指的是抽到的 2 种情况中有几种满足 $X\ge 2$。因此 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2。
   • 计算概率：利用组合数 $C_n^m$ 计算。总情况数为 $C_4^2$。
   • 列出表格并求期望：按照分布列格式填表，利用公式 $E(\xi )=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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当天银行卡被锁定的概率为12；𝑋的分布列为𝑃(𝑋=1)=16、𝑃(𝑋=2)=1

✍【详细解析】

Abstract

（1）计算恰有 1 人等待人数为 2 的概率 记“等待人数为 2”为事件 $A$，由分布列知 $P(A)=0.4$，则 $P(\bar{A})=1-0.4=0.6$。 从 2 次观察中恰有 1 次发生事件 $A$ 的概率为： $P=C_2^1\cdot P(A)\cdot P(\bar{A})=2\times 0.4\times 0.6=0.48$。

（2）求 $\xi$ 的分布列及期望 根据题意，等待人数 $X\in \{0,1,2,3\}$。 开启第三个窗口的情况为 $X=2$ 或 $X=3$（共 2 种情况）； 不开启的情况为 $X=0$ 或 $X=1$（共 2 种情况）。 从这 4 种情况中随机抽取 2 种，总的抽取方法有 $C_4^2=6$ 种。 $\xi$ 的可能取值为 0, 1, 2。

• 当 $\xi =0$ 时，即抽到的 2 种情况均为不开启： $P(\xi =0)=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$；

• 当 $\xi =1$ 时，即抽到的情况中 1 种开启，1 种不开启： $P(\xi =1)=\frac{C_2^1\cdot C_2^1}{C_4^2}=\frac{2\times 2}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$；

• 当 $\xi =2$ 时，即抽到的 2 种情况均为开启： $P(\xi =2)=\frac{C_2^2}{C_4^2}=\frac{1}{6}$。

$\xi$ 的分布列如下：

$\xi$	0	1	2
$P$	$\frac{1}{6}$	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{6}$

计算数学期望： $E(\xi )=0\times \frac{1}{6}+1\times \frac{2}{3}+2\times \frac{1}{6}=0+\frac{2}{3}+\frac{1}{3}=1$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 审题深度：第二问的关键在于理解“从这 4 种等待情况中抽取 2 种”。这里的“情况”指的是 $X$ 的四个取值，而不是基于分布列概率的随机抽取，因此应按超几何分布模型（或组合模型）处理，而非二项分布。
2. 规范表达：分布列必须以表格形式呈现，且最后需检查概率之和是否等于 1。
3. 期望的意义：本题中 $\xi$ 的分布是对称的，均值恰好位于中间取值 1 处，这符合直观感受。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果第一问改为“至少有 1 个人等待人数为 2”，则可以使用对立事件法计算 $1-0.6^2=0.64$。
• 变式思考: 如果银行规定 $X\ge 1$ 就开启新窗口，那么期望 $E(\xi )$ 会变为多少？ (提示：此时开启情况变为 3 种，不开启仅 1 种，计算方式类似。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练(Links)

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• 2010-福建卷理-16
• 2009-福建卷理-16