2015-福建卷理-17 解-线面平行

本题导读

本题是立体几何大题。第一问要求通过空间几何性质（中位线或面面平行）证明线面平行；第二问要求建立空间直角坐标系，利用法向量求解二面角，考查逻辑推理与空间计算能力。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)）

如图，在几何体 $ABCDE$ 中，四边形 $ABCD$ 是矩形，$AB\perp$ 平面 $BEC$，$BE\perp EC$，$AB=BE=EC=2$，$G,F$ 分别是线段 $BE,DC$ 的中点.

(1) 求证：$GF//$ 平面 $ADE$；

(2) 求平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角的余弦值.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（线面平行）：构造辅助面。可以取 $AE$ 中点 $H$，证明 $GH//AB$ 且 $GH=\frac{1}{2}AB$，再结合矩形性质证明四边形 $GHFD$ 是平行四边形，从而得到 $GF//DH$。

2. 第二问（二面角）：

• 建系：由于 $AB\perp$ 面 $BEC$，且 $BE\perp EC$，可以 $E$ 或 $B$ 为原点建系。若以 $B$ 为原点，$\overrightarrow{BE}$ 方向为 $x$ 轴，过 $B$ 且平行于 $EC$ 的方向为 $y$ 轴，$\overrightarrow{BA}$ 方向为 $z$ 轴。

• 向量计算：求出平面 $AEF$ 的法向量 $\vec{n}$。由于 $AB\perp$ 平面 $BEC$，平面 $BEC$ 的法向量可直接取 $\overrightarrow{BA}=(0,0,2)$。

• 公式求解：利用向量夹角公式求余弦。

✅【答案】

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故二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

（Ⅰ）证明：$GF//$ 平面 $ADE$

取 $AE$ 的中点 $H$，连接 $GH,HD$。

在 $△ABE$ 中，$G,H$ 分别为 $BE,AE$ 的中点，

所以 $GH//AB$ 且 $GH=\frac{1}{2}AB$。

又四边形 $ABCD$ 是矩形，$F$ 是 $CD$ 的中点，

所以 $DF//AB$ 且 $DF=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}AB$。

由此得 $GH//DF$ 且 $GH=DF$，

故四边形 $GHFD$ 是平行四边形，所以 $GF//HD$。

又 $GF\not\subset$ 平面 $ADE$，$HD\subset$ 平面 $ADE$，

所以 $GF//$ 平面 $ADE$。

（Ⅱ）求二面角的余弦值

以 $B$ 为原点，分别以 $\overrightarrow{BE}$、过 $B$ 且平行于 $\overrightarrow{EC}$ 的方向、$\overrightarrow{BA}$ 的方向为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。

由题意得：$B(0,0,0),E(2,0,0),C(2,2,0),A(0,0,2),F(1,2,0)$。

则 $\overrightarrow{AE}=(2,0,-2),\overrightarrow{AF}=(1,2,-2)$。

设平面 $AEF$ 的法向量为 $\vec{n}=(x,y,z)$，则：

$\{\begin{array}{l}\vec{n}\cdot \overrightarrow{AE}=2x-2z=0\\ \vec{n}\cdot \overrightarrow{AF}=x+2y-2z=0\end{array}$，取 $z=2$，得 $\vec{n}=(2,1,2)$。

又因为 $AB\perp$ 平面 $BEC$，故平面 $BEC$ 的一个法向量可取 $\vec{m}=\overrightarrow{BA}=(0,0,2)$。

设平面 $AEF$ 与平面 $BEC$ 所成锐二面角为 $\theta$，则：

$\cos \theta =\frac{|\vec{n}\cdot \vec{m}|}{|\vec{n}||\vec{m}|}=\frac{|2\times 0+1\times 0+2\times 2|}{\sqrt{2^2+1^2+2^2}\times 2}=\frac{4}{3\times 2}=\frac{2}{3}$。

故二面角的余弦值为 $\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 建系技巧：立体几何第二问的首选是向量法。建系时务必找准两两垂直的三条直线。本题中 $AB\perp$ 面 $BEC$ 是非常强的垂直条件。

2. 法向量复用：如果题目已知某线段垂直于底面，该线段的方向向量即为底面的法向量，无需重复计算。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第一问也可以通过证明面面平行（取 $AB$ 中点 $M$，证明面 $GMF//$ 面 $ADE$）来推导线面平行。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

𝐺𝐹∥平面𝐴𝐷𝐸；平面𝐴𝐸𝐹与平面𝐵𝐸𝐶所成锐二面角的余弦值为23.

类题演练(Links)

• 2009-福建卷理-17

• 2014-福建卷理-16 解-二倍角的正弦、余弦、正切公式

• 2005-福建卷理-08 单-空间直角坐标系的建立