2015-福建卷理-19 解-图象变换

本题导读

本题是三角函数的综合大题。第一问考查函数图象变换及对称轴方程的求法；第二问将三角恒等变换与方程根的分布相结合，考查学生利用辅助角公式化简函数以及通过诱导公式、两角差公式处理根之间关系的能力。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)） 已知函数 $f(x)$ 的图像是由函数 $g(x)=\cos x$ 的图像经如下变换得到：先将 $g(x)$ 图像上所有点的纵坐标伸长到原来的 2 倍（横坐标不变），再将所得的图像向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度.

(1) 求函数 $f(x)$ 的解析式，并求其图像的对称轴方程；

(2) 已知关于 $x$ 的方程 $f(x)+g(x)=m$ 在 $[0,2\pi )$ 内有两个不同的解 $\alpha ,\beta$.

(1) 求实数 $m$ 的取值范围；

(2) 证明：$\cos (\alpha -\beta )=\frac{2m^2}{5}-1$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（解析式与对称性）：
   • 纵坐标变为 2 倍：$y=2\cos x$。
   • 向右平移 $\frac{\pi }{2}$：$y=2\cos (x-\frac{\pi }{2})$。利用诱导公式化简为 $2\sin x$。
   • 对称轴：正弦函数在最值点处取得对称轴，令 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}$。
2. 第二问(1)（取值范围）：
   • 合并 $f(x)+g(x)$：利用辅助角公式将其化为 $A\sin (x+\phi )$ 的形式。
   • 判定根的个数：正弦型函数在一个周期内有两个不同解，其值 $m$ 必须在振幅范围内且不等于极值点（注意区间端点的包含情况）。
3. 第二问(2)（恒等式证明）：
   • 核心思路：$\alpha ,\beta$ 关于对称轴对称。
   • 利用 $\sin (\alpha +\phi )=\sin (\beta +\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}}$。
   • 利用诱导公式，将 $\cos (\alpha +\phi )$ 与 $\cos (\beta +\phi )$ 联系起来（它们互为相反数）。
   • 展开 $\cos (\alpha -\beta )=\cos [(\alpha +\phi )-(\beta +\phi )]$ 进行计算。

✅【答案】

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命题得证

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求解析式与对称轴 将 $g(x)=\cos x$ 纵坐标伸长到原来的 2 倍，得到 $y=2\cos x$； 再向右平移 $\frac{\pi }{2}$ 个单位长度，得到 $f(x)=2\cos (x-\frac{\pi }{2})=2\sin x$。 由 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$， 得 $f(x)$ 图像的对称轴方程为 $x=k\pi +\frac{\pi }{2}(k\in \mathbb{Z})$。

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(2) 方程根的性质证明

(1) 求 $m$ 的取值范围

由题意，$f(x)+g(x)=2\sin x+\cos x=m$。 利用辅助角公式：$\sqrt{5}(\frac{2}{\sqrt{5}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{5}}\cos x)=m$， 即 $\sqrt{5}\sin (x+\phi )=m$，其中 $\sin \phi =\frac{1}{\sqrt{5}},\cos \phi =\frac{2}{\sqrt{5}}$。 则 $\sin (x+\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}}$。 因为 $x\in [0,2\pi )$，方程有两个不同解，且正弦函数在一个周期内除了最值点外，在开区间范围内取值均有两个解。 所以 $\left|\frac{m}{\sqrt{5}}\right|<1$，解得 $m\in (-\sqrt{5},\sqrt{5})$。

(2) 证明恒等式

由 (1) 知，$\alpha ,\beta$ 是方程 $\sin (x+\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}}$ 的两个解， 则 $\sin (\alpha +\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}},\sin (\beta +\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}}$。 根据对称性，在 $[0,2\pi )$ 一个周期内，两个不相等的解满足： $\cos (\alpha +\phi )=-\cos (\beta +\phi )$。 （因为 $(\alpha +\phi )+(\beta +\phi )=\pi +2k\pi$ 或 $3\pi +2k\pi$）

展开 $\cos (\alpha -\beta )$： $\cos (\alpha -\beta )=\cos [(\alpha +\phi )-(\beta +\phi )]$ $=\cos (\alpha +\phi )\cos (\beta +\phi )+\sin (\alpha +\phi )\sin (\beta +\phi )$ $=-{\cos }^2(\beta +\phi )+{\sin }^2(\beta +\phi )$ $=-[1-{\sin }^2(\beta +\phi )]+{\sin }^2(\beta +\phi )$ $=2{\sin }^2(\beta +\phi )-1$ 将 $\sin (\beta +\phi )=\frac{m}{\sqrt{5}}$ 代入： $=2(\frac{m}{\sqrt{5}}{)}^2-1=\frac{2m^2}{5}-1$。 命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 变换顺序：函数变换遵循“左加右减，上加下减”。注意平移量是针对变量 $x$ 本身的。
2. 辅助角公式的构造：在处理 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的线性组合时，辅助角 $\phi$ 的正余弦值必须明确标出，虽不一定要求出 $\phi$ 的角度，但其三角比在后续证明中至关重要。
3. 根的对称性：正弦函数 $y=\sin u$ 的两个不同根 $u_1,u_2$ 关于 $\frac{\pi }{2}$ 对称，由此可得 $\sin u_1=\sin u_2$ 且 $\cos u_1=-\cos u_2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 第二问证明也可以利用 $\cos (\alpha -\beta )$ 的二倍角变形。由 $\sin (\alpha +\phi )=\sin (\beta +\phi )$ 可得 $\alpha -\beta$ 相关的几何关系，但利用差角公式展开最为通法。
• 变式思考: 若要求 $\sin (\alpha +\beta )$ 的值，该如何利用辅助角 $\phi$ 进行表达？

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 08.01 函数图象变换、模型与零点

类题演练(Links)

• 2007-福建卷理-19 解-分类讨论思想
• 2006-福建卷理-19 解-导数在最大值与最小值问题中的应用
• 2014-福建卷理-16 解-二倍角的正弦、余弦、正切公式