2015-福建卷理-21 解-行列式

本题导读

本题考查二阶矩阵的基础运算。第一问考查逆矩阵的经典求法；第二问通过矩阵方程 $AC=B$ 考查矩阵乘法的非交换性以及利用逆矩阵消去系数矩阵的技巧。

📌【题干】

Question

（2015年福建卷(理)）

选修 4-2：矩阵与变换

已知矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)$，$B=\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$.

(1) 求 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$；

(2) 求矩阵 $C$，使得 $AC=B$.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（逆矩阵）：

• 首先计算矩阵 $A$ 的行列式 $\det (A)=ad-bc$。若 $\det (A)\ne 0$，则逆矩阵存在。

• 利用二阶矩阵求逆口诀：“主对调，副变号，除以行列式”。

 即：若 $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$，则 $A^{-1} = \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}$。

2. 第二问（矩阵方程）：

• 已知 $AC=B$，在等式两边左乘 $A^{-1}$。

• 得 $A^{-1}AC=A^{-1}B$，即 $IC=A^{-1}B$，故 $C=A^{-1}B$。

• 注意矩阵乘法不满足交换律，必须是左乘。

✅【答案】

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故矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -2& -3\end{array}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 求 $A$ 的逆矩阵 $A^{-1}$

矩阵 $A=\left(\begin{array}{cc}2& 1\\ 4& 3\end{array}\right)$ 的行列式为：

$\det (A)=2\times 3-1\times 4=6-4=2$。

因为 $\det (A)\ne 0$，所以 $A$ 的逆矩阵存在。

$A^{-1}=\frac{1}{2}\left(\begin{array}{cc}3& -1\\ -4& 2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -2& 1\end{array}\right)$。

(2) 求矩阵 $C$

由 $AC=B$，在等式两边左乘 $A^{-1}$ 得：

$C=A^{-1}B$

代入已知矩阵进行乘法运算：

$C=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& -\frac{1}{2}\\ -2& 1\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}1& 1\\ 0& -1\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}\times 1+(-\frac{1}{2})\times 0& \frac{3}{2}\times 1+(-\frac{1}{2})\times (-1)\\ -2\times 1+1\times 0& -2\times 1+1\times (-1)\end{array}\right)$

$C=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& \frac{3}{2}+\frac{1}{2}\\ -2& -2-1\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -2& -3\end{array}\right)$。

故矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 2\\ -2& -3\end{array}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 二阶逆矩阵公式：这是矩阵选修模块最高频的考点，务必记牢。

2. 运算顺序：矩阵方程 $AC=B$ 的解是 $C=A^{-1}B$；而 $CA=B$ 的解是 $C=B{A}^{-1}$。左右顺序不可颠倒。

3. 计算检查：求出 $C$ 后，可以用原矩阵 $A$ 与 $C$ 相乘验证结果是否等于 $B$。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以设矩阵 $C=\left(\begin{array}{cc}{x}_1& x_2\\ x_3& x_4\end{array}\right)$，利用矩阵相等的定义列出四元一次方程组求解，但计算量相对较大，不推荐。

• 变式思考: 若 $\det (A)=0$，则方程 $AC=B$ 一定无解吗？

(提示：不一定，可能无解也可能有无数个解，取决于 $B$ 的列向量是否在 $A$ 的列空间内。)

🔗【关联脉络】

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• 待补

类题演练(Links)

• 2014-福建卷理-21A 解-矩阵与变换

• 2005-福建卷理-06 单-正弦型函数的图象与性质

• 2018-江苏卷-21B