2015-重庆卷文-10 单-线性规划

本题导读

本题考查线性规划所表示的平面区域性质，需通过画出可行域，结合三角形面积逆推出参数 $m$ 的值。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 若不等式组 $\{\begin{array}{l}x+y-2⩽0,\\ x+2y-2⩾0,\\ x-y+2m⩾0\end{array}$ 表示的平面区域为三角形，且其面积等于 $\frac{4}{3}$，则 $m$ 的值为 ()

A. $-3$　　　　　　　B. $1$　　　　　　　C. $\frac{4}{3}$　　　　　　　D. $3$

🔍【思路分析】

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1. 画出固定直线 $l_1:x+y-2=0$ 和 $l_2:x+2y-2=0$ 的位置关系，求出其交点 $A(2,0)$。
2. 动直线 $l_3:x-y+2m=0$ 沿法方向平移，与 $l_1,l_2$ 分别交于 $B,C$ 两点，三条直线围成三角形区域。
3. 联立方程求出顶点 $B,C$ 的坐标（含参数 $m$），利用三角形面积公式建立关于 $m$ 的方程并求解。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

联立直线 $l_1:x+y-2=0$ 和 $l_2:x+2y-2=0$，解得交点 $A(2,0)$

将动直线 $l_3:x-y+2m=0$ 分别与 $l_1,l_2$ 联立：

• 联立 $\{\begin{array}{l}x+y-2=0\\ x-y+2m=0\end{array}$，解得交点 $B(1-m,1+m)$
• 联立 $\{\begin{array}{l}x+2y-2=0\\ x-y+2m=0\end{array}$，解得交点 $C\left(\frac{2-4m}{3},\frac{2+2m}{3}\right)$

利用三顶点坐标求 $△ABC$ 的面积： 定义向量 $\overrightarrow{AB}=(-m-1,1+m)$，$\overrightarrow{AC}=\left(\frac{-4-4m}{3},\frac{2+2m}{3}\right)$ 由向量叉乘面积公式 $S=\frac{1}{2}|x_1{y}_2-x_2{y}_1|$ 得： $S=\frac{1}{2}\left|(-m-1)\cdot \frac{2+2m}{3}-(1+m)\cdot \frac{-4-4m}{3}\right|$ $S=\frac{1}{2}\left|\frac{-2(m+1{)}^2+4(m+1{)}^2}{3}\right|=\frac{(m+1{)}^2}{3}$

题目已知 $S=\frac{4}{3}$，故： $\frac{(m+1{)}^2}{3}=\frac{4}{3}⟹(m+1{)}^2=4⟹m+1=\pm 2$ 解得 $m=1$ 或 $m=-3$

校验图形可行域：

• 当 $m=1$ 时，$l_3:x-y+2=0$，点 $A(2,0)$ 代入 $x-y+2=4⩾0$，满足 $x-y+2m⩾0$，此时三直线成功围成有界三角形区域，面积为 $\frac{4}{3}$
• 当 $m=-3$ 时，$l_3:x-y-6=0$，可行域不是三角形或与已知半平面矛盾

因此 $m=1$

B

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平面区域的几何意义、利用顶点坐标表示三角形面积。
2. 核心方法：联立求出含参顶点坐标，使用向量行列式（叉积）或底高公式计算面积。
3. 避坑指南：求出多解后（如 $m=1$ 与 $m=-3$），必须带回原不等式组验证区域是否满足“为三角形”这一约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自传统线性规划与解析几何结合的压轴选择题，侧重考查参数讨论与代数运算。
2. 结论推广：由三条直线 $a_{i}x+b_{i}y+c_i=0(i=1,2,3)$ 围成的三角形面积可通过阶梯行列式公式快速计算。

🔗【关联脉络】

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B

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-16 填-绝对值不等式的恒成立问题
• 2013年重庆卷理-16
• 2013年重庆卷理-3