2014-重庆卷理-16 填-绝对值不等式的恒成立问题

本题导读

本题考查含绝对值不等式的恒成立问题。解题关键是将不等式转化为函数的最值问题，即左边函数的最小值应不小于右边的常数项，体现了等价转化的数学思想。

📌【题干】

Question

（2014年重庆卷(理)） 若不等式 $|2x-1|+|x+2|\ge a^2+\frac{1}{2}a+2$ 对任意实数 $x$ 恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 等价转化：不等式 $f(x)\ge C$ 恒成立，等价于 $f(x{)}_{\min }\ge C$。
2. 求解最小值：构造分段函数 $f(x)=|2x-1|+|x+2|$。利用绝对值的零点分段法，去掉绝对值符号，求出函数在各段上的表达式。
3. 确定最值点：通过观察图象或比较各转折点（零点）处的函数值，确定 $f(x)$ 的最小值。
4. 解一元二次不等式：将求得的最小值代入 $f(x{)}_{\min }\ge a^2+\frac{1}{2}a+2$，解关于 $a$ 的不等式即可。

✅【答案】

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$[-1,\frac{1}{2}]$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：构造并分析函数 $f(x)$ 令 $f(x)=|2x-1|+|x+2|$。 令绝对值内的式子为零，得零点 $x=\frac{1}{2}$ 和 $x=-2$。 分段讨论如下：

• 当 $x\le -2$ 时，$f(x)=-(2x-1)-(x+2)=-3x-1$。此时函数单调递减，$f(x)\ge f(-2)=5$。
• 当 $-2<x\le \frac{1}{2}$ 时，$f(x)=-(2x-1)+(x+2)=3-x$。此时函数单调递减，$f(x)\ge f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$。
• 当 $x>\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=(2x-1)+(x+2)=3x+1$。此时函数单调递增，$f(x)>f(\frac{1}{2})=\frac{5}{2}$。

综上所述，当 $x=\frac{1}{2}$ 时，函数 $f(x)$ 取得最小值 $f(x{)}_{\min }=\frac{5}{2}$。

第二步：建立关于 $a$ 的不等式 要使不等式对任意 $x$ 恒成立，只需： $f(x{)}_{\min }\ge a^2+\frac{1}{2}a+2$ $\frac{5}{2}\ge a^2+\frac{1}{2}a+2$

第三步：解不等式求 $a$ 的范围 整理得：$a^2+\frac{1}{2}a-\frac{1}{2}\le 0$。 即：$2a^2+a-1\le 0$。 分解因式：$(2a-1)(a+1)\le 0$。 解得：$-1\le a\le \frac{1}{2}$。

故答案为 $[-1,\frac{1}{2}]$


💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：含绝对值不等式恒成立问题。

2. 核心方法：零点分段求 $f(x)=|2x-1|+|x+2|$ 最小值 $\frac{5}{2}$，解二次不等式。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 绝对值零点分段与最值。

2. 结论推广: $f(x)\ge C$ 恒成立等价于 $f(x{)}_{\min }\ge C$。

3. 方法推广: 恒成立问题转化为函数最值再解不等式。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 03.04 绝对值不等式及排序不等式
• 03.01 不等式解法体系
• 05.03 专题-恒成立问题

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-24 解-绝对值不等式
• 2014-辽宁卷文-12 单-不等式恒成立