2015-重庆卷文-15 填-几何概型

本题导读

本题将一元二次方程根的分布条件转化为区间上的测度问题，考查几何概型的计算。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(文)） 在区间 $[0,5]$ 上随机地选择一个数 $p$，则方程 $x^2+2px+3p-2=0$ 有两个负根的概率为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 设一元二次方程 $x^2+2px+3p-2=0$ 的两根为 $x_1,x_2$。
2. 存在两个负根的充要条件为：判别式 $\Delta ⩾0$，且 $x_1+x_2<0$，$x_1{x}_2>0$。
3. 解关于 $p$ 的不等式组，确定符合条件的 $p$ 的取值范围。
4. 计算对应区间长度与总区间 $[0,5]$ 长度的比值。

✅【答案】

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$\frac{2}{3}$

✍【详细解析】

Abstract

方程 $x^2+2px+3p-2=0$ 有两个负根的充要条件是： $\{\begin{array}{l}\Delta =(2p{)}^2-4(3p-2)⩾0\\ x_1+x_2=-2p<0\\ x_1{x}_2=3p-2>0\end{array}$

分别求解各个不等式：

1. $\Delta =4p^2-12p+8⩾0⟹p^2-3p+2⩾0⟹p⩽1$ 或 $p⩾2$。
2. $-2p<0⟹p>0$。
3. $3p-2>0⟹p>\frac{2}{3}$。

取交集可得 $p$ 的取值范围为： $\left(\frac{2}{3},1\right]\cup [2,+\infty )$

又因为 $p$ 是在区间 $[0,5]$ 上随机选择的，结合 $p\in [0,5]$ 得到可行区间为： $p\in \left(\frac{2}{3},1\right]\cup [2,5]$

计算区间长度：

• 总区间 $[0,5]$ 的长度 $L_{全}=5-0=5$。
• 满足条件的区间长度 $L_{合}=\left(1-\frac{2}{3}\right)+(5-2)=\frac{1}{3}+3=\frac{10}{3}$。

由几何概型公式可得概率： $P=\frac{L_{合}}{L_{全}}=\frac{\frac{10}{3}}{5}=\frac{2}{3}$

故答案为：$\frac{2}{3}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一元二次方程根的分布（判别式与韦达定理）及长度型几何概型。
2. 核心方法：充要条件分析法 + 几何概型测度计算。
3. 避坑指南：注意“两个负根”包含相等负根的情况，故判别式 $\Delta ⩾0$ 需带等号；不要遗漏 $x_1{x}_2>0$ 这一条件。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：源自必修三概率（几何概型）与必修一二次函数/方程交汇的综合题。
2. 结论推广：对于二次方程 $a{x}^2+bx+c=0$ 根的分布条件，可结合二次函数图象特征（端点值、对称轴、判别式）建立参变量的不等式组。

🔗【关联脉络】

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类题演练(Links)

• 2011-重庆卷理-10
• 2004-重庆理-07 单-一元二次方程根的分布
• 2023-上海卷-18 解-函数综合