2015-重庆卷理-04 单-充分必要条件

本题导读

本题将对数不等式的求解与充要条件的判定相结合。通过解不等式确定两个条件的取值集合，再利用集合间的包含关系来判断逻辑条件的类型。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） “$x>1$”是“${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<0$”的 ()

A. 充分不必要条件　　　　　　　　　　B. 必要不充分条件

C. 充要条件　　　　　　　　　　　　　D. 既不充分也不必要条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解对数不等式：求出使得 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<0$ 成立的 $x$ 的取值范围。注意底数 $0<\frac{1}{2}<1$，不等号需变向。
2. 转化为集合：设条件 $p:\{x|x>1\}$，条件 $q:\{x|{\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<0\}$。
3. 判定包含关系：
   • 若 $p\subseteq q$ 且 $p\ne q$，则 $p$ 是 $q$ 的充分不必要条件。
   • 若 $q\subseteq p$ 且 $q\ne p$，则 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：解不等式 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<0$ 由对数函数性质可知，底数 $\frac{1}{2}\in (0,1)$，该函数单调递减。 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<{\log }_{\frac{1}{2}}1$ $⟹x+2>1$ 解得 $x>-1$。 同时需满足定义域条件：$x+2>0⟹x>-2$。 综上，不等式的解集为 $q:\{x|x>-1\}$。

第二步：逻辑判断 已知条件 $p:\{x|x>1\}$。 对比集合 $p=(1,+\infty )$ 和 $q=(-1,+\infty )$： 易知 $(1,+\infty )⊊(-1,+\infty )$，即 $p⊊q$。 这意味着 $p⟹q$ 成立，但 $q⟹p$ 不成立（例如 $x=0$ 满足 $q$ 但不满足 $p$）。

第三步：下结论 由于 $p$ 是 $q$ 的子集且不相等，故 $x>1$ 是 ${\log }_{\frac{1}{2}}(x+2)<0$ 的充分不必要条件。

故选：A。 (注：参考解析图中给出 B 为正确答案，推导逻辑为 $x>-1$。由于 $p:x>1$ 为子集，根据标准逻辑应选 A。请注意区分 $p$ 与 $q$ 的主从关系。)

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 对数不等式陷阱：底数小于 1 时，脱去对数符号必须改变不等号方向；且永远不要忘记真数大于 0。
2. 充要条件口诀：小范围推大范围（充分），大范围推小范围（必要）。
3. 计算技巧：将逻辑问题转化为数轴上的区间包含关系，视觉化判定最不容易出错。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以使用“代值排除法”。取 $x=2$，满足 $x>1$ 且满足对数不等式（充分性通）；取 $x=0$，不满足 $x>1$ 但满足对数不等式（必要性断）。
• 变式思考: 若题目改为“$x>-2$”，结论会如何变化？ (提示：此时 $p$ 是 $q$ 的必要不充分条件。)

🔗【关联脉络】

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• 待补

类题演练(Links)

• 2014-重庆卷理-11 填-集合补集
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