2015-重庆卷理-05 单-三视图

本题导读

本题考查根据三视图还原几何体并计算其体积。核心在于识别该几何体是由一个半圆柱和一个三棱锥拼接而成的组合体，并准确提取各部分的几何尺寸。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 ()

A. $\frac{1}{3}+\pi$　　　　B. $\frac{2}{3}+\pi$　　　　C. $\frac{1}{3}+2\pi$　　　　D. $\frac{2}{3}+2\pi$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 模型识别：
   • 正视图和俯视图显示左侧是一个三角形，右侧是一个矩形。
   • 左视图是一个半圆，说明右侧部分与圆柱相关。
   • 综合判定：该几何体左侧为一个三棱锥，右侧为一个半圆柱。
2. 提取数据：
   • 半圆柱部分：底面半径 $r=1$，高 $h_1=2$。
   • 三棱锥部分：底面是一个底为 2、高为 1 的三角形（对应左视图的截面），三棱锥的高 $h_2=1$（对应正视图左侧宽度）。
3. 分步计算：分别计算两部分体积并求和。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：计算右侧半圆柱的体积 $V_1$ 底面半圆半径 $r=1$，圆柱高 $h_1=2$。 $V_1=\frac{1}{2}\cdot \pi r^2\cdot h_1=\frac{1}{2}\cdot \pi \cdot 1^2\cdot 2=\pi$。

第二步：计算左侧三棱锥的体积 $V_2$ 该三棱锥可以看作是以左视图中的半圆底边为底面的锥体。 其底面三角形面积 $S_{\text{base}}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot 1=1$（底为半圆直径 2，高为半径 1）。 三棱锥的高为正视图中左侧的横向长度 $h_2=1$。 $V_2=\frac{1}{3}\cdot S_{\text{base}}\cdot h_2=\frac{1}{3}\cdot 1\cdot 1=\frac{1}{3}$。

第三步：求总体积 $V$ $V=V_1+V_2=\pi +\frac{1}{3}$。

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 视图还原技巧：左视图往往决定了组合体的“横截面”形状。看到半圆且正视图有矩形，必联想到圆柱或半圆柱。
2. 体积公式记忆：注意锥体体积务必乘以 $\frac{1}{3}$，半圆柱务必乘以 $\frac{1}{2}$。
3. 避坑指南：很多同学会将左侧识别为半个圆锥。如果是半个圆锥，俯视图左侧应该是半圆弧而非折线，因此必须是棱锥。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 也可以将该几何体看作一个“柱体”被斜切掉一部分。但“分割法”对于这种结构清晰的组合体最不容易出错。
• 变式思考: 若该几何体的表面积如何计算？ (提示：需计算半圆柱的侧面积、底面积，以及三棱锥暴露在外的三个侧面三角形面积。)

🔗【关联脉络】

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A

类题演练(Links)

• 2022-高考上海卷-5
• 2022-高考浙江卷-5
• 2021-北京卷-04 单-三视图还原