2021-北京卷-04 单-三视图还原

本题导读

本题考查还原几何体，以及多面体的表面积。

📌【题干】

Question

（2021年北京卷）某四面体的三视图如图所示

**，

该四面体的表面积为（\quad）

A. $\frac{3+\sqrt{3}}{2}$　　　　　　B. $4$　　　　　　C. $3+\sqrt{3}$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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识别问题类型：本题考查空间几何体的三视图还原以及表面积的计算。

还原几何体特征：根据解析中透露的已知条件（侧面为等腰直角三角形，底面为等边三角形，侧棱长为 $1$），该三视图对应的几何体是一个“三条侧棱两两垂直且相等”的三棱锥（俗称“墙角模型”或从正方体上切下来的一个角）。

确定求解策略：四面体的表面积等于四个面的面积之和。分别计算三个互相垂直的侧面的面积，以及底面的面积，然后求和即可。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：还原几何体并确定基本量

通过分析三视图（结合题意），该几何体为一个正三棱锥 $O-ABC$（顶点为 $O$，底面为 $ABC$）。

特别地，它的三个侧面 $△OAB$、$△OBC$、$△OCA$ 都是全等的等腰直角三角形，且直角顶点均在 $O$ 处。

换言之，侧棱 $OA,OB,OC$ 两两垂直。

由三视图数据可知，侧棱长 $OA=OB=OC=1$。

第二步：计算侧面积

由于三个侧面是全等的等腰直角三角形，直角边长为 $1$。

单个侧面的面积 $S_{侧面}=\frac{1}{2}\times 1\times 1=\frac{1}{2}$。

三个侧面的总面积 $S_{侧总}=3\times \frac{1}{2}=\frac{3}{2}$。

第三步：计算底面积

在等腰直角 $△OAB$ 中，由勾股定理可得底边边长 $AB=\sqrt{O{A}^2+O{B}^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

同理可得 $BC=CA=\sqrt{2}$。

因此，底面 $△ABC$ 是一个边长为 $\sqrt{2}$ 的等边三角形。

等边三角形的面积公式为 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$（其中 $a$ 为边长）。

底面积 $S_{底}=\frac{\sqrt{3}}{4}\times (\sqrt{2}{)}^2=\frac{\sqrt{3}}{4}\times 2=\frac{\sqrt{3}}{2}$。

第四步：求总表面积

四面体的总表面积 $S_{总}=S_{侧总}+S_{底}=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{3+\sqrt{3}}{2}$。

结论：对应选项 A 正确。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心模型（墙角模型）：三条棱两两互相垂直的三棱锥是非常高频的考点。可以直接把它看作是“正方体的一个角”。如果正方体的棱长为 $a$，那么切下这个角的三个侧面都是直角边为 $a$ 的等腰直角三角形，底面是边长为 $\sqrt{2}a$ 的等边三角形。

技巧提炼：熟记等边三角形面积公式 $S=\frac{\sqrt{3}}{4}{a}^2$ 能在考场上节省大量推导时间。

试题评价：此题是典型的立体几何基础题，主要难点在于第一步的“看图说话”（由三视图在大脑中构建出几何体的空间形态）。一旦模型建立成功，后续的计算非常常规。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：待补

2. 结论推广：待补

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-12 填-三视图还原
• 2013-辽宁卷理-13 填-三视图还原
• 2014-浙江卷理-03 单-三视图还原