2015-重庆卷理-07 单-程序框图

本题导读

本题考查程序框图的循环结构。解题核心在于准确模拟算法的每一次执行步骤，记录变量 $S$ 和 $k$ 的变化。根据“输出 $k=8$”这一目标，倒推判断框中应填入的退出临界条件。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 执行如图所示的程序框图，若输入的 $k$ 值为 8，则判断框中可填入的条件是 ()

A. $s\le \frac{3}{4}$　　　　　B. $s\le \frac{5}{6}$　　　　　C. $s\le \frac{11}{12}$　　　　　D. $s\le \frac{15}{24}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 初始化：初始状态 $S=0,k=0$。
2. 理解逻辑：程序先经过判断框。如果条件成立（“是”），则 $k$ 增加 2，随后 $S$ 累加 $\frac{1}{k}$；如果条件不成立（“否”），则跳出循环并输出当前的 $k$。
3. 模拟过程：逐步计算循环中 $S$ 和 $k$ 的值，直到 $k$ 达到 8 为止。
4. 确定边界：当 $k=8$ 时程序必须已经跳出循环。这意味着在 $k$ 变为 8 之前的那个 $S$ 值必须满足条件，而使得 $k$ 变为 8 的那个 $S$ 值（即上一轮结束后的值）必须恰好让判断变为“否”。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：逐步模拟循环过程

• 初始：$S=0,k=0$。进入判断框。
• 第 1 次循环（假设条件成立）： $k=0+2=2$； $S=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$。回到判断框。
• 第 2 次循环（假设条件成立）： $k=2+2=4$； $S=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$。回到判断框。
• 第 3 次循环（假设条件成立）： $k=4+2=6$； $S=\frac{3}{4}+\frac{1}{6}=\frac{11}{12}$。回到判断框。
• 第 4 次循环（为了让输出的 $k$ 为 8，这次必须是最后一次进入循环）： $k=6+2=8$； $S=\frac{11}{12}+\frac{1}{8}=\frac{25}{24}$。回到判断框。

第二步：判定临界条件 为了输出 $k=8$，说明在 $k=6$ 这一步结束后的 $S$ 值（即 $S=\frac{11}{12}$）时，判断条件仍然为“是”； 而在 $k=8$ 这一步结束后的 $S$ 值时，判断条件必须为“否”。 观察选项：

• 若填入 $s\le \frac{11}{12}$：当 $s=\frac{11}{12}$ 时，条件为“是”，继续循环，$k$ 变为 8，输出符合题意。
• 若填入 A、B 项：在 $s=\frac{11}{12}$ 之前就会跳出，输出的 $k$ 会小于 8。
• 若填入 D 项：由于 $\frac{15}{24}=\frac{5}{8}<\frac{11}{12}$，同样会提前跳出。

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 循环变量的位置：注意本题中是先加 $k$ 后加 $S$，这决定了判断框判定的 $S$ 是上一轮的结果。
2. 临界值判定：程序框图最易错的地方在于“多一次”或“少一次”。手动模拟时，建议列表记录进入判断框那一刻的变量值。
3. 避坑指南：选项 C 中的 $\frac{11}{12}$ 恰好是 $k$ 到达 8 之前的累加和，选择“小于等于”保证了能最后一次进入循环。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 这种求和程序实际上是在计算数列 $S_n={\sum }_{i=1}^n\frac{1}{2i}$ 的部分和。
• 变式思考: 若将判断框改为 $k<7$，输出的 $k$ 值会是多少？ (提示：$k=6$ 时满足条件进入循环，$k$ 变为 8，$S$ 累加，下一次 $k=8$ 不满足条件，输出 $k=8$。)

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-8
• 2014-重庆卷理-05 单-程序框图
• 2014-重庆卷理-02 单-等比数列的性质