2015-重庆卷理-15 填-参数方程

本题导读

本题考查不同坐标系下方程的转化及交点求解。解题核心在于将直线 $l$ 的参数方程和曲线 $C$ 的极坐标方程统一转化为直角坐标系下的普通方程，联立求解得到交点的直角坐标，最后按题目要求转换回极坐标。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） （选做题-坐标系与参数方程选讲） 已知直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=-1+t\\ y=1+t\end{array}$ ($t$ 为参数)，以坐标原点为极点，$x$ 轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 ${\rho }^2\cos 2\theta =4$ ($\rho >0,\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$)，则直线 $l$ 与曲线 $C$ 的交点的极坐标为$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 转化直线 $l$：由参数方程消去参数 $t$，得到直角坐标下的直线方程。
2. 转化曲线 $C$：利用倍角公式 $\cos 2\theta ={\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta$ 展开极坐标方程，再利用转换公式 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$ 化为直角坐标方程。
3. 联立求解：解方程组求出交点的直角坐标 $(x,y)$。
4. 极坐标转换：根据 $\rho =\sqrt{x^2+y^2}$ 和 $\tan \theta =\frac{y}{x}$（注意 $\theta$ 的范围限制），将结果转换为极坐标 $(\rho ,\theta )$。

✅【答案】

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$(2,\pi )$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：转化直线 $l$ 的方程 由参数方程 $\{\begin{array}{l}x=-1+t\text{(1)}\\ y=1+t\text{(2)}\end{array}$ 用 ② - ① 得：$y-x=2$，即直线 $l$ 的普通方程为 $y=x+2$。

第二步：转化曲线 $C$ 的方程 极坐标方程为 ${\rho }^2\cos 2\theta =4$。 利用倍角公式得：${\rho }^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=4$ 即 $(\rho \cos \theta {)}^2-(\rho \sin \theta {)}^2=4$。 代入 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$，得到曲线 $C$ 的直角坐标方程为 $x^2-y^2=4$ (此为等轴双曲线)。

第三步：联立方程组求交点 将 $y=x+2$ 代入 $x^2-y^2=4$： $x^2-(x+2{)}^2=4$ $x^2-(x^2+4x+4)=4$ $-4x-4=4⟹-4x=8⟹x=-2$。 代入直线方程得 $y=-2+2=0$。 故交点的直角坐标为 $(-2,0)$。

第四步：转换为极坐标 对于点 $(-2,0)$： $\rho =\sqrt{(-2{)}^2+0^2}=2$。 由于该点在 $x$ 轴负半轴上，且题目给定范围 $\frac{3\pi }{4}<\theta <\frac{5\pi }{4}$， 故极角 $\theta =\pi$。 交点的极坐标为 $(2,\pi )$。

故答案为：$(2,\pi )$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 互化公式核心：熟记 $x^2+y^2={\rho }^2$ 和 $x=\rho \cos \theta ,y=\rho \sin \theta$。处理 $\cos 2\theta$ 或 $\sin 2\theta$ 时，一定要先展开。
2. 范围判定的必要性：极坐标表示不唯一（如 $(-2,0)$ 也可以表示为 $(2,3\pi )$ 等），必须严格遵守题目给出的 $\theta$ 区间。
3. 计算技巧：参数方程消参最简单的方法通常是加减消元或代入消元。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 如果曲线方程非常复杂，也可以直接在极坐标系下联立。将直线转化为 $\rho \sin \theta =\rho \cos \theta +2$，代入 ${\rho }^2({\cos }^2\theta -{\sin }^2\theta )=4$ 求解，但通常直角坐标化更符合运算习惯。
• 变式思考: 若曲线 $C$ 的方程变为 $\rho =2\cos \theta$，它在直角坐标系中代表什么图形？ (提示：两边同乘 $\rho$ 得 ${\rho }^2=2\rho \cos \theta$，即 $x^2+y^2=2x$，是一个圆。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

• 2013年重庆卷理-15
• 2014-重庆卷理-15 填-直线参数方程
• 2015-湖北卷理-16 填-极坐标