2015-重庆卷理-17 解-古典概型

本题导读

本题是典型的概率统计大题，考查古典概型下概率的计算以及随机变量分布列的建立。第一问侧重于组合数的应用，第二问通过超几何分布模型考查随机变量的期望计算。

📌【题干】

Question

（2015年重庆卷(理)） 端午节吃粽子是我国的传统习俗.设一盘中装有 10 个粽子，其中豆沙粽 2 个，肉粽 3 个，白粽 5 个.这三种粽子的外观完全相同，从中任意选取 3 个.

(1) 求三种粽子各取到 1 个的概率；

(2) 设 $X$ 表示取到的豆沙粽个数，求 $X$ 的分布列与数学期望.

🔍【思路分析】

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1. 第一问（古典概型）：
   • 总事件数：从 10 个粽子中任取 3 个的组合数 $C_{10}^3$。
   • 目标事件数：三种粽子各取 1 个，即从豆沙、肉粽、白粽中各选 1 个的乘积 $C_2^1{C}_3^1{C}_5^1$。
   • 利用概率公式 $P=\frac{\text{目标事件数}}{\text{总事件数}}$ 求解。
2. 第二问（分布列与期望）：
   • 确定 $X$ 的取值：豆沙粽共 2 个，取 3 个粽子时，豆沙粽可能取到 0, 1, 2 个。故 $X\in \{0,1,2\}$。
   • 计算概率：分别计算 $P(X=k)$ ($k=0,1,2$)。注意“非豆沙粽”共有 $3+5=8$ 个。
   • 列分布列：将结果填入表格，检查概率之和是否为 1。
   • 求期望：利用公式 $E(X)=\sum x_i{p}_i$ 计算。

✅【答案】

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数学期望 $E(X)=0\times \frac{7}{15}+1\times \frac{7}{15}+2\times \frac{1}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。 故 $X$ 的数学期望为 $\frac{3}{5}$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 三种粽子各取到 1 个的概率 设事件 $A$ 为“三种粽子各取到 1 个”。 总的基本事件个数为 $C_{10}^3=\frac{10\times 9\times 8}{3\times 2\times 1}=120$。 事件 $A$ 包含的基本事件个数为 $C_2^1\times C_3^1\times C_5^1=2\times 3\times 5=30$。 则 $P(A)=\frac{C_2^1{C}_3^1{C}_5^1}{C_{10}^3}=\frac{30}{120}=\frac{1}{4}$。 故三种粽子各取到 1 个的概率为 $\frac{1}{4}$。

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(2) $X$ 的分布列与数学期望 随机变量 $X$ 的所有可能取值为 0, 1, 2。 非豆沙粽子（肉粽与白粽）共有 $3+5=8$ 个。 $P(X=0)=\frac{C_2^0{C}_8^3}{C_{10}^3}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$； $P(X=1)=\frac{C_2^1{C}_8^2}{C_{10}^3}=\frac{2\times 28}{120}=\frac{56}{120}=\frac{7}{15}$； $P(X=2)=\frac{C_2^2{C}_8^1}{C_{10}^3}=\frac{1\times 8}{120}=\frac{1}{15}$。

$X$ 的分布列如下表所示：

$X$	0	1	2
$P$	$\frac{7}{15}$	$\frac{7}{15}$	$\frac{1}{15}$

数学期望 $E(X)=0\times \frac{7}{15}+1\times \frac{7}{15}+2\times \frac{1}{15}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。 故 $X$ 的数学期望为 $\frac{3}{5}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 模型识别：本题属于“不放回抽样”，即超几何分布模型。计算概率时，分母始终是总选法，分子是目标类选法与其余类选法的乘积。
2. 分布列自检：分布列列完后，务必检查 $\frac{7}{15}+\frac{7}{15}+\frac{1}{15}=1$，这是保证期望计算正确的前提。
3. 计算细节：组合数 $C_n^k$ 的展开和约分要细心，建议在草稿纸上算两遍。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 方法拓展: 本题 $X$ 服从超几何分布 $H(10,2,3)$。其期望公式也可以直接套用 $E(X)=n\cdot \frac{M}{N}=3\times \frac{2}{10}=\frac{3}{5}$（但在大题中建议列出过程）。
• 变式思考: 若改为“有放回地抽取 3 次”，$X$ 将服从什么分布？ (提示：二项分布 $B(3,\frac{2}{10})$。)

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 15.01 古典概型
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

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