2014-天津卷文-12 填-对数单调区间

本题导读

$f(x)$ 由 $u=x^2$ 与 $y=\lg u$ 复合而成，先定定义域，再分 $x<0$、$x>0$ 两段讨论。

📌【题干】

Question

（2014年天津卷(文)） 函数 $f(x)=\lg x^2$ 的单调递减区间是　　　.

🔍【思路分析】

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外层函数 $y=\lg u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增，故内层 $u=x^2$ 递减的一段对应 $f(x)$ 的递减区间。

✅【答案】

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$(-\infty ,0)$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)=\lg x^2$ 的定义域为 $\{x\mid x\ne 0\}$。 令 $u=x^2$，则 $y=\lg u$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 $u=x^2$ 在 $(-\infty ,0)$ 上单调递减，在 $(0,+\infty )$ 上单调递增。 由复合函数“同增异减”知，$f(x)$ 的单调递减区间是 $(-\infty ,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复合函数的单调性

2. 核心方法：同增异减

3. 避坑指南：先写定义域 $x\ne 0$：内层 $u=x^2$ 在 $(-\infty ,0)$ 上递减、在 $(0,+\infty )$ 上递增；外层 $y=\lg u$ 递增，故“异减”的一段才是递减区间。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 对数函数的性质与复合函数的单调性。

2. 结论推广: 复合函数 $y=f(g(x))$ 的单调性由内外层单调性决定：同增异减。

3. 方法推广: 讨论单调区间必须先求定义域，再把定义域按内层函数的单调分点切开，逐段判断。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2014-山东卷文-06 单-对数函数图象
• 2015-陕西卷文-10 单-对数比较