2015-陕西卷理-05 单-三视图

本题导读

本题考查根据三视图还原空间几何体并计算其表面积。核心在于通过三视图准确判断几何体的形状（半圆柱），并完整计算包括侧面、底面及截面在内的所有面面积。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为 ()

A. $3\pi$　　　　　　B. $4\pi$　　　　　　C. $2\pi +4$　　　　　　D. $3\pi +4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 还原几何体：
   • 俯视图为半圆，主视图和左视图均为矩形。
   • 综合判断：该几何体是一个卧倒的半圆柱。
   2. 提取几何参数：
   • 俯视图半圆直径为 2，半径 $r=1$。
   • 主视图矩形长为 2，对应圆柱的母线长（高）$h=2$。
2. 分面计算面积：
   • 侧面（曲面）：圆柱侧面积的一半。
   • 底面：两个半圆，合起来是一个完整的圆。
   • 截面（矩形面）：半圆柱被切割出的长方形面。
3. 求和：将以上各部分面积相加得到总表面积。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：分析几何体构成 由三视图可知，该几何体为底面半径 $r=1$，高（母线长）$h=2$ 的圆柱沿轴截面切开后的一半。

第二步：计算各部分面积

1. 圆弧侧面积 $S_{侧}$： 圆柱侧面积公式为 $2\pi rh$，取其一半： $S_{侧}=\frac{1}{2}\times (2\pi \times 1\times 2)=2\pi$
2. 两端底面积 $S_{底}$： 两个半径为 1 的半圆，合为一个整圆： $S_{底}=\pi \times 1^2=\pi$
3. 矩形截面积 $S_{矩}$： 该面长为圆柱的高 $h=2$，宽为底面直径 $d=2$： $S_{矩}=2\times 2=4$

第三步：计算总表面积 $S_{总}$ $S_{总}=S_{侧}+S_{底}+S_{矩}=2\pi +\pi +4=3\pi +4$

答案：D

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：三视图还原（由形到体）；组合几何体表面积计算。
• 核心方法：分块求和法。计算表面积时要逐个面清点，防止漏掉被切割后新露出的平面（如本题中的矩形截面）。
• 避坑指南：
  1. 误求体积：审题需仔细，区分“表面积”与“体积”。
  2. 漏算截面：很多学生容易只算圆弧面和半圆底面，忽略了切开后的矩形支撑面。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 若已知完整圆柱表面积为 $2\pi r^2+2\pi rh$，则沿轴截面切开后的半圆柱表面积为 $\pi r^2+\pi rh+2rh$。 *方法推广: 遇到三视图中有圆或圆弧时，优先考虑圆柱、圆锥或球体。

• 相关知识点：圆柱的体积公式 $V=\pi r^{2}h$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-05 单-外接球
• 2014-陕西卷理-17 解-空间几何体的还原
• 2013年陕西卷理-12