2015-陕西卷理-12 单-二次函数

本题导读

本题考查二次函数的性质、导数与极值的关系以及逻辑推理能力。核心在于通过“四结论中仅一错误”的条件，利用假设法构建方程组，验证各结论间的相容性。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） 对二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$（$a$ 为非零常数），四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是 ()

A. $-1$ 是 $f(x)$ 的零点　　　　B. $1$ 是 $f(x)$ 的极值点

C. $3$ 是 $f(x)$ 的极值　　　　　D. 点 $(2,8)$ 在曲线 $y=f(x)$ 上

🔍【思路分析】

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1. 分析结构：题目给出四个结论，已知三真一假。
2. 建立模型：二次函数 $f(x)=a{x}^2+bx+c$，其导函数 $f^{\prime }(x)=2ax+b$。
3. 分类讨论（假设法）：
   • 假设 A 错误：则 B, C, D 均为真。由 B, C 可得 $f^{\prime }(1)=0$ 且 $f(1)=3$；由 D 可得 $f(2)=8$。通过这三个条件求出 $a,b,c$，再代入 A 验证其是否真的错误。
   • 假设其他项错误：同理操作。若求出的 $a,b,c$ 导致其他结论出现多个矛盾，则假设不成立。
4. 计算验证：利用待定系数法求解二次项系数 $a$，若 $a\ne 0$，则函数存在。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

第一步：尝试假设 A 为错误结论 若 A 错误，则结论 B, C, D 均正确。

1. 由 B 知，$x=1$ 是极值点，根据极值点的必要条件有 $f^{\prime }(1)=0$。 $f^{\prime }(x)=2ax+b⟹2a(1)+b=0⟹b=-2a$
2. 由 C 知，极值为 $3$，即 $f(1)=3$。 $a(1{)}^2+b(1)+c=3⟹a+b+c=3$ 将 $b=-2a$ 代入：$a-2a+c=3⟹c=a+3$。
3. 由 D 知，点 $(2,8)$ 在曲线上，即 $f(2)=8$。 $a(2{)}^2+b(2)+c=8⟹4a+2b+c=8$ 将 $b=-2a$ 和 $c=a+3$ 代入： $4a+2(-2a)+(a+3)=8⟹4a-4a+a+3=8⟹a=5$
4. 求出函数解析式： 当 $a=5$ 时，$b=-10$，$c=8$。 则 $f(x)=5x^2-10x+8$。

第二步：验证结论 A 的真假 检验 $-1$ 是否为该函数的零点： $f(-1)=5(-1{)}^2-10(-1)+8=5+10+8=23\ne 0$ 计算结果显示 $-1$ 不是零点，即结论 A 确实是错误的。 此时 B, C, D 均满足，符合“有且仅有一个结论错误”的条件。

答案：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：二次函数的顶点（极值点）坐标公式 $(-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a})$；导数与极值的关系；待定系数法。
• 核心方法：假设验证法。在逻辑推理题中，当无法直接判断真假时，通过假设某项为假并推导其他项的相容性是标准解法。
• 避坑指南：
  1. 极值点 $x_0$ 对应 $f^{\prime }(x_0)=0$，极值 $y_0$ 对应 $f(x_0)=y_0$。
  2. 必须满足 $a\ne 0$，若求出 $a=0$ 则该假设路径不通。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于二次函数，极值点即为对称轴所在位置。*方法推广: 面对“N个结论中仅有一个错误”的题目，通常错误的结论与其他正确结论之间存在“逻辑隔离”或“计算矛盾”。

• 相关知识点：二次函数的对称性、判别式与零点的关系。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2014-陕西卷理-03 单-定积分