2014-陕西卷理-20 解-椭圆定义与性质

本题导读

本题是圆锥曲线的综合大题，考查了椭圆与抛物线组合曲线的几何性质。第一问需通过公共点确定参数；第二问涉及直线与双曲线交点坐标的表达，并利用垂直关系（数量积为零）建立关于斜率的方程。

📌【题干】

Question

（2014年陕西卷(理)） 如图，曲线 $C$ 由上半椭圆 $C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1(a>b>0,y\ge 0)$ 和部分抛物线 $C_2:y=-x^2+1(y\le 0)$ 连接而成，$C_1,C_2$ 的公共点为 $A,B$，其中 $C_1$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$.

(1) 求 $a,b$ 的值；

(2) 过点 $B$ 的直线 $l$ 与 $C_1,C_2$ 分别交于 $P,Q$（均异于点 $A,B$），若 $AP\perp AQ$，求直线 $l$ 的方程.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：确定参数
   • 找交点：令抛物线 $C_2$ 的 $y=0$，求出与 $x$ 轴的交点 $A,B$。
   • 代入椭圆：交点 $B$ 必在椭圆上，且椭圆焦点在 $y$ 轴。由此确定 $b$。
   • 利用离心率：结合 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$ 和 $a^2=b^2+c^2$ 联立求出 $a$。
2. 第二问：求直线方程
   • 设方程：由图可知 $B(1,0)$，设直线 $l:y=k(x-1)(k\ne 0)$。
   • 求点 $P$ 坐标：联立直线与椭圆 $C_1$ 方程，利用韦达定理表达出 $x_P$，进而求出 $y_P$。
   • 求点 $Q$ 坐标：联立直线与抛物线 $C_2$ 方程，求出 $x_Q,y_Q$。
   • 垂直关系：利用 $AP\perp AQ⟺\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}=0$，代入坐标建立关于 $k$ 的方程并求解。

✅【答案】

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综上，$a=2,b=1$。；故直线 $l$ 的方程为：$y=-\frac{8}{3}(x-1)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 在 $C_2:y=-x^2+1$ 中，令 $y=0$ 得 $x=\pm 1$。 所以 $A(-1,0),B(1,0)$。 将 $B(1,0)$ 代入 $C_1:\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$ 得 $\frac{0}{a^2}+\frac{1}{b^2}=1$，解得 $b^2=1$。 因为 $b>0$，所以 $b=1$。 又离心率 $e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $a^2-c^2=b^2=1$。 联立得：$\frac{a^2-1}{a^2}=\frac{3}{4}⟹4a^2-4=3a^2⟹a^2=4$。 因为 $a>0$，所以 $a=2$。 综上，$a=2,b=1$。

(2) 解： 由(1)知，$C_1:\frac{y^2}{4}+x^2=1(y\ge 0)$，$B(1,0),A(-1,0)$。 设直线 $l:y=k(x-1)(k\ne 0)$。 ① 求 $P$ 点坐标： 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ y^2+4x^2=4\end{array}$ 消元整理得：$(k^2+4)x^2-2k^{2}x+k^2-4=0$。 根据韦达定理，$x_B\cdot x_P=\frac{k^2-4}{k^2+4}$。 因为 $x_B=1$，所以 $x_P=\frac{k^2-4}{k^2+4}$。 代入直线方程得 $y_P=k(\frac{k^2-4}{k^2+4}-1)=\frac{-8k}{k^2+4}$。 故 $P(\frac{k^2-4}{k^2+4},\frac{-8k}{k^2+4})$。

② 求 $Q$ 点坐标： 联立 $\{\begin{array}{l}y=k(x-1)\\ y=-x^2+1\end{array}⟹k(x-1)=-(x-1)(x+1)$。 因为 $Q\ne B$，所以 $x+1=-k⟹x_Q=-k-1$。 代入直线方程得 $y_Q=k(-k-1-1)=-k^2-2k$。 故 $Q(-k-1,-k^2-2k)$。

③ 利用垂直关系： $\overrightarrow{AP}=(x_P+1,y_P)=(\frac{2k^2}{k^2+4},\frac{-8k}{k^2+4})$， $\overrightarrow{AQ}=(x_Q+1,y_Q)=(-k,-k^2-2k)=-k(1,k+2)$。 因为 $AP\perp AQ$，所以 $\overrightarrow{AP}\cdot \overrightarrow{AQ}=0$。 $\frac{-2k^3}{k^2+4}+\frac{8k^2(k+2)}{k^2+4}=0$ 因为 $k\ne 0$，两边同乘 $\frac{k^2+4}{k^2}$ 得： $-2k+8(k+2)=0⟹6k+16=0⟹k=-\frac{8}{3}$。 经验证，此时点 $P$ 的纵坐标 $y_P=\frac{-8(-8/3)}{(-8/3{)}^2+4}>0$，符合 $C_1$ 定义域；点 $Q$ 的纵坐标 $y_Q=-(-8/3{)}^2-2(-8/3)<0$，符合 $C_2$ 定义域。

故直线 $l$ 的方程为：$y=-\frac{8}{3}(x-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：椭圆与抛物线的基础方程及性质；直线与圆锥曲线的交点问题。

2. 核心方法：韦达定理消元法。在求交点坐标时，利用已知交点 $B$ 配合韦达定理可以极大简化计算。

3. 避坑指南：注意 $C_1$ 和 $C_2$ 分别有 $y\ge 0$ 和 $y\le 0$ 的限制，求得斜率后务必回代检验点是否在曲线上。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 抛物线的切线、椭圆的弦长公式。

2. 结论推广: 数量积为零是解析几何中处理“垂直”关系的最有效工具。

3. 方法推广: 对于复杂的组合曲线问题，分段处理坐标并寻找统一的参数（如斜率 $k$）是解题通途。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 09.03 平面向量的数量积
• 09.02 平面向量的线性运算
• 09.01 平面向量基本概念

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-09 单-椭圆定义与性质
• 2014-重庆卷文-21 解-椭圆与圆
• 2013-辽宁卷理-15 填-椭圆性质