2015-陕西卷理-22 解-圆周角定理

本题导读

本题是平面几何选讲的综合题。第一问利用圆周角性质与弦切角定理进行角度等量代换；第二问通过角平分线定理及切割线定理，结合勾股定理完成长度的逻辑推导，最终求得圆的直径。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） （选修 4—1：几何证明选讲） 如图，$AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，直线 $AD$ 交 $\odot O$ 于 $D,E$ 两点，$BC\perp DE$，垂足为 $C$.

（I）证明：$\angle CBD=\angle DBA$；

（II）若 $AD=3DC$，$BC=\sqrt{2}$，求 $\odot O$ 的直径.

🔍【思路分析】

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1. （I）问证明思路：
   • 弦切角定理：$\angle DBA$ 是弦切角，其度数等于所夹弧对应的圆周角 $\angle BED$。
   • 等量代换：在直角 $△BCD$ 中，$\angle CBD+\angle BDC=90^{\circ }$。若能证明 $DE$ 是直径，则 $\angle EBD=90^{\circ }$，从而 $\angle BED+\angle BDC=90^{\circ }$。通过中间角转化得出结论。
2. （II）问求解思路：
   • 角平分线定理应用：由（I）结论知 $BD$ 平分 $\angle ABC$，在 $△ABC$ 中利用角平分线性质建立边长比例。
   • 勾股定理：在直角 $△ABC$ 中表示出各边。
   • 切割线定理：利用 $A{B}^2=AD\cdot AE$ 求出 $AE$ 的长。
   • 直径计算：直径 $DE=AE-AD$。

✅【答案】

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3

✍【详细解析】

Abstract

（I）证明：$\angle CBD=\angle DBA$

因为 $DE$ 是 $\odot O$ 的直径（图中 $DE$ 过圆心 $O$），所以 $\angle EBD=90^{\circ }$。 则在直角 $△EBD$ 中，$\angle BED+\angle EDB=90^{\circ }$。 又因为 $BC\perp DE$，在直角 $△BCD$ 中，$\angle CBD+\angle BDC=90^{\circ }$。 由等角余角相等得：$\angle CBD=\angle BED$。 又因为 $AB$ 切 $\odot O$ 于点 $B$，由弦切角定理得：$\angle DBA=\angle BED$。 所以 $\angle CBD=\angle DBA$。

（II）求 $\odot O$ 的直径

由（I）结论可知，$BD$ 是 $\angle ABC$ 的平分线。 根据角平分线定理，在 $△ABC$ 中有：$\frac{AB}{BC}=\frac{AD}{DC}$。 已知 $AD=3DC$，所以 $\frac{AB}{BC}=3$。 又已知 $BC=\sqrt{2}$，得 $AB=3\sqrt{2}$。 在直角 $△ABC$ 中，由勾股定理得： $AC=\sqrt{A{B}^2-B{C}^2}=\sqrt{(3\sqrt{2}{)}^2-(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{18-2}=4$ 因为 $AC=AD+DC=3DC+DC=4DC$， 所以 $4DC=4⟹DC=1$。 则 $AD=3\times 1=3$。 根据切割线定理：$A{B}^2=AD\cdot AE$。 代入数据得：$(3\sqrt{2}{)}^2=3\cdot AE⟹18=3\cdot AE⟹AE=6$。 所以 $\odot O$ 的直径 $DE=AE-AD=6-3=3$。

答案：3

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：弦切角定理（切线与弦所成的角等于所夹弧对的圆周角）；切割线定理（从圆外一点引切线和割线，切线长是割线及其外表部分的比例中项）。
• 核心方法：比例转换法。将几何图形的性质（如角平分线）转化为线段的比例关系。
• 避坑指南：
  1. 确保识别出 $\angle EBD=90^{\circ }$ 这一隐含条件。
  2. 计算 $AE$ 时，切记它是整条割线的长度，而非仅仅是圆内的弦长。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 弦切角定理是连接圆的切线与内部角度的重要桥梁，常用于证明三角形相似。 *方法推广: 涉及圆的度量问题（长度计算），切割线定理、相交弦定理与相似三角形是常用的三套组合拳。

• 相关知识点：相交弦定理、圆幂定理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 11.11三角形的四心的核心结论全梳理

类题演练(Links)

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