2015-陕西卷理-23 解-极坐标

本题导读

本题是坐标系与参数方程选讲题。第一问考查极坐标方程向直角坐标方程的转化；第二问考查如何利用参数方程表达动点坐标，并通过构造距离函数的二次型求最值，从而确定动点位置。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） （选修 4—4：坐标系与参数方程） 在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t\end{array}$ （$t$ 为参数）.以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$.

（I）写出 $\odot C$ 的直角坐标方程；

（II）$P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求 $P$ 的直角坐标.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （I）问思路：
   • 利用极坐标转化技巧：将 $\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$ 两边同乘 $\rho$ 得到 ${\rho }^2=2\sqrt{3}\rho \sin \theta$。
   • 代入互化公式 ${\rho }^2=x^2+y^2$ 和 $y=\rho \sin \theta$ 即可得到直角坐标方程。
   2. （II）问思路：
   • 确定圆心坐标：将（I）求得的圆方程化为标准形式，读出圆心 $C$。
   • 表达动点坐标：利用直线 $l$ 的参数方程，设 $P(3+\frac{1}{2}t,\frac{\sqrt{3}}{2}t)$。
   • 构造距离函数：利用两点间距离公式写出 $|PC{|}^2$ 关于参数 $t$ 的二次函数。
   • 求最值：通过配方法求出当距离最小时对应的参数 $t$，进而求出 $P$ 点坐标。

✅【答案】

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将 $t=0$ 代入直线参数方程： $\{\begin{array}{l}x=3+0=3\\ y=0\end{array}$ 所以，点 $P$ 的直角坐标为 $(3,0)$

✍【详细解析】

Abstract

（I）写出 $\odot C$ 的直角坐标方程

已知极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$。 方程两边同乘以 $\rho$，得： ${\rho }^2=2\sqrt{3}\rho \sin \theta$ 代入 $x^2+y^2={\rho }^2$，$y=\rho \sin \theta$，得： $x^2+y^2=2\sqrt{3}y$ 移项并配方得： $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3$ 这就是 $\odot C$ 的直角坐标方程。

（II）求 $P$ 的直角坐标

由（I）可知，圆心 $C$ 的坐标为 $(0,\sqrt{3})$。 设直线 $l$ 上的动点 $P$ 的坐标为 $(3+\frac{1}{2}t,\frac{\sqrt{3}}{2}t)$。 利用两点间距离公式： $|PC{|}^2={\left(3+\frac{1}{2}t-0\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}\right)}^2$ $|PC{|}^2={\left(3+\frac{1}{2}t\right)}^2+3{\left(\frac{1}{2}t-1\right)}^2$ $|PC{|}^2=9+3t+\frac{1}{4}{t}^2+3\left(\frac{1}{4}{t}^2-t+1\right)$ $|PC{|}^2=9+3t+\frac{1}{4}{t}^2+\frac{3}{4}{t}^2-3t+3$ $|PC{|}^2=t^2+12$ 因为 $t^2\ge 0$，所以当 $t=0$ 时，$|PC{|}^2$ 取得最小值 $12$，此时距离 $|PC|$ 最小。 将 $t=0$ 代入直线参数方程： $\{\begin{array}{l}x=3+0=3\\ y=0\end{array}$ 所以，点 $P$ 的直角坐标为 $(3,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：极坐标与直角坐标互化公式；参数方程中参数的几何意义（本题中 $t$ 恰好代表点到定点的距离，但计算时直接代数化更稳妥）；二次函数求最值。
• 核心方法：代数化几何问题。将距离最小问题转化为二次函数最值问题。
• 避坑指南：
  1. 互化时不要漏掉 $\rho$ 或符号。
  2. 参数方程中的 $t$ 处理要细心，注意展开平方项时的项合并。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 极坐标方程 $\rho =2R\sin \theta$ 表示一个圆心在 $y$ 轴上且过原点的圆。 *方法推广: 求解点到直线距离最短问题，除了代入参数方程求导/配方外，还可以利用“过圆心垂直于直线的垂线段”这一几何性质。

• 相关知识点：点到直线的距离公式、直线的斜率与倾斜角。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 23.07 几何分布
• 20.01 导数定义与几何意义

类题演练(Links)

• 2013年陕西卷理-15
• 2012年陕西卷理-15
• 2014-陕西卷理-10 单-导数几何意义