2015-陕西卷文-23 解-参数方程

本题导读

$\rho =2\sqrt{3}\sin \theta \Rightarrow x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3$；$P{C}^2=t^2+12\ge 12$，$t=0$ 时 $P=(3,0)$。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(文)） （选修 4—4：坐标系与参数方程）

在直角坐标系 $xOy$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 $\{\begin{array}{l}x=3+\frac{1}{2}t,\\ y=\frac{\sqrt{3}}{2}t,\end{array}$（$t$ 为参数），以原点为极点，$x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，$\odot C$ 的极坐标方程为 $\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$.

(1) 写出 $\odot C$ 的直角坐标方程；

(2) $P$ 为直线 $l$ 上一动点，当 $P$ 到圆心 $C$ 的距离最小时，求 $P$ 的直角坐标.

🔍【思路分析】

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$\rho =2\sqrt{3}\sin \theta \Rightarrow x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3$；$P{C}^2=t^2+12\ge 12$，$t=0$ 时 $P=(3,0)$。

✅【答案】

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(1) $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3$

(2) $P=(3,0)$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 由 $\rho =2\sqrt{3}\sin \theta$，两边乘 $\rho$：${\rho }^2=2\sqrt{3}\rho \sin \theta$，即 $x^2+y^2=2\sqrt{3}y$，

故 $\odot C$ 的直角坐标方程为 $x^2+(y-\sqrt{3}{)}^2=3$（圆心 $C(0,\sqrt{3})$，半径 $\sqrt{3}$）。

(2) 由直线 $l$ 的参数方程，$P\left(3+\frac{t}{2},\frac{\sqrt{3}}{2}t\right)$，圆心 $C=(0,\sqrt{3})$。于是

$P{C}^2={\left(3+\frac{t}{2}\right)}^2+{\left(\frac{\sqrt{3}}{2}t-\sqrt{3}\right)}^2=9+3t+\frac{t^2}{4}+\frac{3t^2}{4}-3t+3=t^2+12\ge 12$。

当且仅当 $t=0$ 时取等号，此时 $P=(3,0)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：极坐标方程与直角坐标方程的互化；参数方程代入求距离最值

核心方法：“乘 $\rho$ 凑 $\rho \sin \theta$“化圆；参数坐标代入配方

避坑指南：①化极坐标方程时两边乘 $\rho$ 不增漏（原方程含 $\rho =0$ 的原点也在圆上）；②$P{C}^2$ 展开后一次项 $3t-3t$ 恰好消去，二次项系数 $\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$，配方只剩 $t^2+12$——展开要细心才能看到这个巧合。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：选修 4-4 的基础综合题（doc 考点定位：坐标系与参数方程、点与圆的位置关系），直线倾斜角恰为 $60^{\circ }$，参数几何意义自然融入。

结论推广：一般地，直线参数方程 $\{\begin{array}{l}x=x_0+t\cos \alpha \\ y=y_0+t\sin \alpha \end{array}$ 中 $|t|$ 即有向距离；本题通过参数直接展开距离的平方求最值，是标准手法。

方法推广：参数方程求最值：把动点坐标写成 $t$ 的函数，距离（平方）展开为 $t$ 的二次式，配方或求导定最小。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 18.16 参数方程与复数变换

类题演练(Links)

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• 2016-全国卷III文-23