2015-陕西卷理-24 解-绝对值不等式

本题导读

本题是选修 4-5 不等式选讲的综合题。第一问通过绝对值不等式的性质与已知解集建立方程组求参数；第二问考查柯西不等式在求最值中的应用，核心在于对代数式进行合理的拆分与构造。

📌【题干】

Question

（2015年陕西卷(理)） （选修 4—5：不等式选讲） 已知关于 $x$ 的不等式 $|x+a|<b$ 的解集为 $\{x|2<x<4\}$.

（I）求实数 $a,b$ 的值；

（II）求 $\sqrt{at+12}+\sqrt{bt}$ 的最大值.

🔍【思路分析】

破题导航

1. （I）问思路：
   • 等价转化：根据绝对值不等式性质，$|x+a|<b$ 等价于 $-b<x+a<b$。
   • 解集对比：整理得 $-b-a<x<b-a$。对应已知解集 $2<x<4$，建立关于 $a,b$ 的方程组求解。
2. （II）问思路：
   • 代入化简：将求得的 $a=-3,b=1$ 代入目标式，得到 $f(t)=\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}$。
   • 构造柯西不等式：目标式呈现 $\sqrt{A}+\sqrt{B}$ 的形式。为了消去变量 $t$，可观察内部系数。将 $\sqrt{-3t+12}$ 变形为 $\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}$。
   • 使用公式：利用 $(a_1{b}_1+a_2{b}_2{)}^2\le (a_1^2+a_2^2)(b_1^2+b_2^2)$。

✅【答案】

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因为 $t=1\in [0,4]$，所以最大值为 4

✍【详细解析】

Abstract

（I）求实数 $a,b$ 的值

由不等式 $|x+a|<b$ 可知 $b>0$（否则无解）， 原不等式等价于：$-b<x+a<b$，即 $-b-a<x<b-a$。 因为其解集为 $\{x|2<x<4\}$， 所以有： $\{\begin{array}{l}-b-a=2\\ b-a=4\end{array}$ 两式相加得：$-2a=6⟹a=-3$。 将 $a=-3$ 代入 $b-a=4$ 得：$b-(-3)=4⟹b=1$。 所以 $a=-3$，$b=1$。

（II）求代数式的最大值

将 $a,b$ 代入得目标式为 $\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}$。 由于根号下必须非负，需满足： $\{\begin{array}{l}-3t+12\ge 0\\ t\ge 0\end{array}⟹0\le t\le 4$ 目标式变形为：$\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}+1\cdot \sqrt{t}$。 利用柯西不等式： $(\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}+1\cdot \sqrt{t}{)}^2\le [(\sqrt{3}{)}^2+1^2]\cdot [(\sqrt{4-t}{)}^2+(\sqrt{t}{)}^2]$ $(\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}+\sqrt{t}{)}^2\le (3+1)\cdot (4-t+t)$ $(\sqrt{3}\cdot \sqrt{4-t}+\sqrt{t}{)}^2\le 4\cdot 4=16$ 所以 $\sqrt{-3t+12}+\sqrt{t}\le 4$。 当且仅当 $\frac{\sqrt{4-t}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{t}}{1}$ 时等号成立， 即 $4-t=3t⟹4t=4⟹t=1$。 因为 $t=1\in [0,4]$，所以最大值为 4。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 核心考点：绝对值不等式 $|x-x_0|<r$ 的几何意义（点到 $x_0$ 的距离小于 $r$）；柯西不等式的代数形式与等号成立条件。
• 核心方法：待定系数构造法。在求 $\sqrt{f(x)}+\sqrt{g(x)}$ 型最值时，构造系数使平方后 $x$ 项抵消是柯西不等式的常用套路。
• 避坑指南：
  1. 计算 $a,b$ 时，注意方程组的对应关系。
  2. 使用柯西不等式后，务必检验等号成立的条件是否在定义域内。

📖【试题探源与推广】

Tip

*结论推广: 对于 $\sqrt{A\cdot (k-t)}+\sqrt{B\cdot t}$，其最大值出现在变量 $t$ 被完全抵消时。 *方法推广: 柯西不等式可以推广到多维形式，是处理和式与平方和关系的最有力武器。

• 相关知识点：算术-几何平均值不等式（均值不等式）、二次根式的性质。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 03.03 柯西不等式
• 20.13 对数平均与指数平均不等式专题

类题演练(Links)

• 2014-陕西卷理-15 填-柯西不等式
• 2014-陕西卷理-21 解-递推关系
• 2013年陕西卷理-1