2016-上海卷文-05 填-三角函数

本题导读

本题考查三角函数的辅助角公式、三角函数的最值，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 若函数 $f(x)=4\sin x+a\cos x$ 的最大值为 $5$，则常数 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 利用辅助角公式将 $f(x)=4\sin x+a\cos x$ 化为 $f(x)=\sqrt{4^2+a^2}\sin (x+\phi )$ 的形式。
2. 根据正弦函数的最值性质，得出最大值为 $\sqrt{16+a^2}=5$，从而建立方程求解 $a$。

✅【答案】

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$\pm 3$

✍【详细解析】

Abstract

函数 $f(x)=4\sin x+a\cos x$ 的最大值为 $\sqrt{4^2+a^2}$。 由题意知其最大值为 5，即： $\sqrt{16+a^2}=5$ 两边平方得： $16+a^2=25⟹a^2=9⟹a=\pm 3$。 故常数 $a$ 的值为 $3$ 或 $-3$。 故答案为：$\pm 3$（或 $3$ 或 $-3$）。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：辅助角公式 $A\sin x+B\cos x=\sqrt{A^2+B^2}\sin (x+\phi )$、三角函数最值。
2. 核心方法：公式法求最值并逆向求参。
3. 避坑指南：求平方根时注意不要漏掉负数解（$a=\pm 3$）。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：高考三角函数常规填空题。
2. 结论推广：函数 $y=A\sin x+B\cos x$ 的最大值为 $\sqrt{A^2+B^2}$，最小值为 $-\sqrt{A^2+B^2}$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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