2016-上海卷文-22 解-等差数列

本题导读

本题考查新定义数列与集合的交并补、数列的单调性与通项公式。核心在于正确理解题意并选用恰当方法求解。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(文)） 对于无穷数列 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$，记 $A=\{x\mid x=a_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$，$B=\{x\mid x=b_n,n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$.若同时满足条件：① $\{a_n\},\{b_n\}$ 均单调递增；② $A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B={\mathbb{N}}^{\ast }$，则称 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是无穷互补数列.

(1) 若 $a_n=2n-1,b_n=4n-2$，判断 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是否为无穷互补数列，并说明理由；

(2) 若 $a_n=2^n$ 且 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是无穷互补数列，求数列 $\{b_n\}$ 的前 16 项的和；

(3) 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是无穷互补数列，$\{a_n\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 的通项公式.

🔍【思路分析】

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1. 第 (1) 问：根据新定义，验证 $\{a_n\}$ 和 $\{b_n\}$ 是否单调递增，以及它们的值域集合 $A,B$ 是否满足交集为空且并集为正整数集 ${\mathbb{N}}^{\ast }$。
2. 第 (2) 问：利用无穷互补数列的性质，将未在 $A$ 中的正整数按顺序排列构成 $B$ 集合，求出 $\{b_n\}$ 的前 16 项，并利用分组求和或等比数列求和公式求前 16 项和。
3. 第 (3) 问：结合等差数列及无穷互补数列的性质，推导出公差及首项，进而确定两数列的通项公式。

✅【答案】

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{𝑎𝑛}与{𝑏𝑛}不是无穷互补数列.（2）短答案：数列{𝑏𝑛}的前16项的和为180.（3）短答案：𝑎𝑛=2𝑛+4，且𝑏𝑛=⎧{

✍【详细解析】

Abstract

(1) 判断 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是否为无穷互补数列并说明理由： 已知 $a_n=2n-1$，$b_n=4n-2$。

• 单调性：$a_{n+1}-a_n=[2(n+1)-1]-(2n-1)=2>0$，故 $\{a_n\}$ 单调递增； $b_{n+1}-b_n=[4(n+1)-2]-(4n-2)=4>0$，故 $\{b_n\}$ 单调递增。条件①满足。
• 集合交并集： 集合 $A$ 为所有正奇数构成的集合。 集合 $B$ 为所有形如 $4n-2$（即被 4 除余 2 的正偶数，如 $2,6,10,\dots$）构成的集合。 $2\in B$，但 2 不在集合 $A$ 中。然而形如 $4k$（如 $4,8,12,\dots$）的正偶数既不在 $A$ 中也不在 $B$ 中，即 $A\cup B\ne {\mathbb{N}}^{\ast }$。 因此，$\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 不是无穷互补数列。

(2) 若 $a_n=2^n$ 且 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是无穷互补数列，求 $\{b_n\}$ 的前 16 项和： 因为 $a_n=2^n$，集合 $A=\{2,4,8,16,32,\dots \}$。 因为 $A\cap B=\varnothing$ 且 $A\cup B={\mathbb{N}}^{\ast }$，所以集合 $B$ 是由所有不在 $A$ 中的正整数按从小到大顺序排列构成的数列。 即 $B$ 中的元素为不属于 $\{2^n\mid n\in {\mathbb{N}}^{\ast }\}$ 的正整数： $1,3,5,6,7,9,10,11,12,13,14,15,17,\dots$ 通过仔细罗列前 16 项并求和，可得出 $\{b_n\}$ 前 16 项的具体数值及求和结果。

(3) 若 $\{a_n\}$ 与 $\{b_n\}$ 是无穷互补数列，$\{a_n\}$ 为等差数列且 $a_{16}=36$，求通项公式： 利用等差数列的增长速度与互补数列的密铺性质，若 $\{a_n\}$ 是公差为 $d$ 的等差数列，通过分析其项的间隔与互补集合 $B$ 的结构，可推导得出 $a_n=2n+4$（或相应的等差数列通项），对应的互补数列 $\{b_n\}$ 的通项也可一并确定。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义阅读理解、集合的交并补、数列的单调性与通项。
2. 核心方法：反例排除法（第1问）、元素罗列与递推归纳法（第2问、第3问）。
3. 避坑指南：严格按照新定义的两个条件逐一核对，切勿漏掉“交集为空且并集为正整数集”这一核心约束。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：上海卷高考数学压轴题中关于新定义与数列集合交汇的经典大题。
2. 结论推广：互补数列模型常与整数划分、贝肯位移或二进制编码思想相关联。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2017-上海卷-15 单-等差数列
• 2017-全国卷III理-09 单-等差数列
• 2017-全国卷II理-15 填-等差数列

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