2016-上海卷理-05 填-对数

本题导读

本题考查指数函数与对数函数的关系、反函数的求法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 已知点 $(3,9)$ 在函数 $f(x)=1+a^x$ 的图像上，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)=\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求参数 $\mathbf{a}$：将点 $(3,9)$ 代入 $f(x)$，解关于 $a$ 的方程。
2. 求反函数步骤：

• 令 $y=f(x)$。
• 将 $y$ 用 $x$ 表示的式子改写为用 $y$ 表示 $x$。
• 最后将 $x,y$ 字母互换，并注意反函数的定义域（即原函数的值域）。

✅【答案】

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${\log }_2(x-1)$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 确定原函数： 将 $(3,9)$ 代入 $f(x)=1+a^x$，得： $9=1+a^3⟹a^3=8⟹a=2$。 所以原函数为 $f(x)=1+2^x$。
2. 求解反函数： 令 $y=1+2^x$。 移项得：$y-1=2^x$。 改写为对数式：$x={\log }_2(y-1)$。 交换 $x,y$ 字母得反函数解析式： $f^{-1}(x)={\log }_2(x-1)$。
3. 确定定义域： 因为 $2^x>0$，所以 $f(x)=1+2^x>1$。 故反函数的定义域为 $(1,+\infty )$（通常填空题只要求写出解析式，但在严谨作答中应关注范围）。

故答案为：${\log }_2(x-1)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 反函数的几何意义：函数 $f(x)$ 与其反函数 $f^{-1}(x)$ 的图像关于直线 $y=x$ 对称。
  • 互化规则：$y=b^x⟺x={\log }_{b}y$ 是解决此类问题的核心工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

• 快速判定：指数函数的反函数必然是对数函数。原函数向上平移 1 个单位，则其反函数必然向右平移 1 个单位。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷II文-08 单-对数函数
• 2017-全国卷I文-09 单-对数函数
• 2017-上海卷-08 填-奇函数

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