2016-上海卷理-07 填-三角恒等

本题导读

本题考查三角恒等变换（二倍角公式）、三角方程的解法，以及相关运算的灵活运用。

📌【题干】

Question

（2016年上海卷(理)） 方程 $3\sin x=1+\cos 2x$ 在区间 $[0,2\pi ]$ 上的解为 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 统一函数名：观察方程，左边是 $\sin x$，右边是 $\cos 2x$。利用二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 可以将方程全部转化为关于 $\sin x$ 的表达式。
2. 化简方程：代入公式后，整理成一元二次方程的标准形式。
3. 求解 $\sin x$：通过因式分解或求根公式解出 $\sin x$ 的值。
4. 确定 $x$ 的值：结合 $\sin x$ 的取值范围（$[-1,1]$）舍去不合理的解，并在区间 $[0,2\pi ]$ 内寻找对应的弧度值。

✅【答案】

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$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$

✍【详细解析】

Abstract

解：

1. 二倍角展开： 已知 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$，代入原方程： $3\sin x=1+(1-2{\sin }^{2}x)$ $3\sin x=2-2{\sin }^{2}x$

2. 整理方程： 移项得： $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$

3. 因式分解求解： $(2\sin x-1)(\sin x+2)=0$ 解得： $\sin x=\frac{1}{2}\text{或}\sin x=-2$

4. 筛选与求角： 由于 $-1\le \sin x\le 1$，故 $\sin x=-2$ 无解（舍去）。 由 $\sin x=\frac{1}{2}$，且 $x\in [0,2\pi ]$：

• 在第一象限，满足条件的角为 $\frac{\pi }{6}$。
• 在第二象限，满足条件的角为 $\pi -\frac{\pi }{6}=\frac{5\pi }{6}$。

故答案为：$\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

• 公式选择：$\cos 2x$ 有三个变体公式。在本题中，由于方程另一项是 $\sin x$，选择 $1-2{\sin }^{2}x$ 是最直接的策略。

• 范围陷阱：解三角方程时必须严格遵守题目给定的区间限制。如果在 $[0,4\pi ]$ 上，解的数量就会翻倍。

• 单位圆辅助：如果不熟悉特殊角，可以利用单位圆观察 $\sin x=\frac{1}{2}$ 对应的纵坐标位置，从而确定有两个对称解。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 变式训练：方程化为 $2{\sin }^{2}x+3\sin x-2=0$ 后解得 $\sin x=\frac{1}{2}$；若区间改为 $[0,4\pi ]$，解为 $x=\frac{\pi }{6},\frac{5\pi }{6},\frac{13\pi }{6},\frac{17\pi }{6}$——解的个数随区间长度成倍增加。
2. 知识关联：二倍角公式 $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$ 是“化异名为同名”的核心工具；解三角方程必须先化成同名函数，再在给定区间内按周期补全所有解。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 05.01 函数的概念

类题演练 (Links)

• 2017-全国卷III文-04 单-同角三角函数
• 2017-全国卷III理-06 单-三角函数
• 2017-全国卷II理-14 填-同角三角函数

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